Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
одновременно и дискретный и непрерывный спектр собственных зна-
чений.
Пример оператора с дискретным спектром — оператор проекции
орбитального момента на ось z, имеющий следующий вид в полярных
координатах
ˆ
L
z
= −i}
∂
∂ϕ
:
ˆ
L
z
Ψ
m
l
(ϕ) = }m
l
Ψ
m
l
(ϕ), 0 6 ϕ < 2π;
Ψ
m
l
(ϕ) =
e
im
l
ϕ
√
2π
, m
l
= 0, ±1, . . .
(1.50)
Такое квантование наблюдаемых значений физической величины при
финитном движении специфично для микромира и не имеет места в
классической механике.
Пример оператора с непрерывным спектром — оператор проекции
импульса ˆp
x
= −i}
∂
∂x
:
ˆp
x
Ψ
p
x
(x) = p
x
Ψ
p
x
(x), −∞ < x < +∞;
Ψ
p
x
(x) =
e
ip
x
x/}
√
2π}
, −∞ < p
x
< +∞.
(1.51)
Рассмотрим для определенности собственное значение F
n
из дис-
кретного спектра оператора
ˆ
F . Если F
n
соответствует одна собствен-
ная функция Ψ
n
(ξ), то такое собственное значение называется невы-
рожденным. Если же для собственного значения F
n
имеется f линейно
независимых собственных функций Ψ
n1
(ξ), . . . , Ψ
nf
(ξ),
ˆ
F Ψ
nk
(ξ) = F
n
Ψ
nk
(ξ), k = 1, . . . f,
то такое собственное значение называется вырожденным с кратностью
вырождения f.
Вернемся теперь к концепции измеримости величины F.
Условие (1.48) дает необходимое и достаточное условие измеримо-
сти величины F в заданном состоянии Ψ, которое должно быть од-
ной из собственных функций оператора
ˆ
F . Пока остается открытым
вопрос о том, какое же случайное значение величины F дает ее одно-
кратное измерение в произвольном состоянии Ψ? В квантовой теории
постулируется тождественность определенных значений величины
F собственным значениям ее оператора. Другими словами, даже ес-
ли состояние Ψ не является собственной функцией
ˆ
F при измерении
                                     30


одновременно и дискретный и непрерывный спектр собственных зна-
чений.
   Пример оператора с дискретным спектром — оператор проекции
орбитального момента на ось z, имеющий следующий вид в полярных
                       ∂
координатах L̂z = −i}    :
                      ∂ϕ

              L̂z Ψml (ϕ) = }ml Ψml (ϕ),       0 6 ϕ < 2π;
                               eiml ϕ                           (1.50)
                     Ψml (ϕ) = √ ,          ml = 0, ±1, . . .
                                 2π
Такое квантование наблюдаемых значений физической величины при
финитном движении специфично для микромира и не имеет места в
классической механике.
   Пример оператора с непрерывным спектром — оператор проекции
                    ∂
импульса p̂x = −i}    :
                   ∂x
              p̂x Ψpx (x) = px Ψpx (x),    −∞ < x < +∞;
                           eipx x/}                             (1.51)
                 Ψpx (x) = √        ,      −∞ < px < +∞.
                              2π}
   Рассмотрим для определенности собственное значение Fn из дис-
кретного спектра оператора F̂ . Если Fn соответствует одна собствен-
ная функция Ψn (ξ), то такое собственное значение называется невы-
рожденным. Если же для собственного значения Fn имеется f линейно
независимых собственных функций Ψn1 (ξ), . . . , Ψnf (ξ),

                F̂ Ψnk (ξ) = Fn Ψnk (ξ),     k = 1, . . . f,

то такое собственное значение называется вырожденным с кратностью
вырождения f .
   Вернемся теперь к концепции измеримости величины F .
   Условие (1.48) дает необходимое и достаточное условие измеримо-
сти величины F в заданном состоянии Ψ, которое должно быть од-
ной из собственных функций оператора F̂ . Пока остается открытым
вопрос о том, какое же случайное значение величины F дает ее одно-
кратное измерение в произвольном состоянии Ψ? В квантовой теории
постулируется тождественность определенных значений величины
F собственным значениям ее оператора. Другими словами, даже ес-
ли состояние Ψ не является собственной функцией F̂ при измерении

Страницы