Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 73 стр.

                                                 73


   Заметим также, что гамильтониан (2.44) не изменяется при инвер-
сии системы координат (r → r, θ → π − θ, ϕ → π + ϕ), так что ин-
тегралом состояния в центральном поле будет и четность. Однако,
для заданного значения квадрата момента импульса четность не явля-
ется независимой величиной, а однозначно определяется орбитальным
квантовым числом l (см. (2.40)).
   Таким образом, решение квантовомеханической задачи в централь-
ном поле базируется на той же идее, что и в соответствующей клас-
сической задаче: вместо трехмерного исследуется более простое одно-
мерное движение в эффективном потенциале. Наиболее существенное
физическое различие состоит в том, что значения квантовых интегра-
лов состояния образуют дискретный набор чисел.
   Мы уже знакомы с волновой функцией свободного движения с опреде-
ленным импульсом. Это волна де-Бройля (1.4). Вместе с тем, существуют
также состояния свободного движения с определенными энергией, L 2 и Lz .
Волновые функции таких состояний имеют следующий вид:
                               ΨElml (r) = Ajl (kr)Ylml (θ, ϕ),
                √
где k = p/}, p = 2mE, jl (x) — сферическая функция Бесселя (см. Приложе-
ние Г.). Состояния с определенным импульсом и состояния с определенными
E, L2 и Lz связаны друг с другом соотношением:
                                   X
                     eipr/} = 4π          il jl (kr) Ylm
                                                       ∗
                                                         l
                                                           (θp , ϕp ) Ylml (θ, ϕ),
                                   l ml

где углы θp ,ϕp задают направление вектора p. Данное соотношение наглядно
иллюстрирует совместную неизмеримость импульса и квадрата орбитального
момента.
2.6.       Задача двух тел
   Рассмотрим две материальные точки с массами M1 и M2 в силовом
поле с потенциальной энергией V (r 1 , r 2 ) (включающей и взаимодей-
ствие частиц друг с другом). В общем случае в стационарном уравне-
нии Шредингера для такой системы
     }2                      }2
−       ∇21 Ψ(r 1 , r 2 ) −     ∇22 Ψ(r 1 , r 2 ) + V (r 1 , r 2 )Ψ(r 1 , r 2 ) = EΨ(r 1 , r 2 ),
    2M1                     2M2
где ∇1 ≡ ∇r1 , ∇2 ≡ ∇r2 , переменные r 1 и r 2 разделить невозможно.
Если же частицы взаимодействуют только друг с другом, т.е. внешние
силы отсутствуют, то V (r 1 , r 2 ) зависит только от расстояния между
частицами,
                     V (r 1 , r 2 ) = V (r 1 − r 2 ),             (2.53)