Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

74
и ситуация существенно упрощается. Исследуем именно этот случай.
Рассмотрим двухчастичное уравнение Шредингера с потенциалом
(2.53):
−
}
2
2M
1
∇
2
1
Ψ(r
1
, r
2
) −
}
2
2M
2
∇
2
2
Ψ(r
1
, r
2
) + V (r
1
− r
2
)Ψ(r
1
, r
2
) =
= EΨ(r
1
, r
2
). (2.54)
В нем удобно перейти к новым переменным r, R, связанным с r
1
, r
2
соотношениями:
r = r
1
− r
2
, R =
M
1
r
1
+ M
2
r
2
M
1
+ M
2
. (2.55)
В классической механике r является относительной координатой ма-
териальных точек, R — координатой их центра масс; преобразование
(2.55) называется переходом в систему центра масс.
Запишем уравнение (2.54) в системе центра масс. Для этого выразим
операторы ∇
1
и ∇
2
через ∇
r
и ∇
R
:
∂
∂r
1
=
∂r
∂r
1
∂
∂r
+
∂R
∂r
1
∂
∂R
(2.55)
=
∂
∂r
+
M
1
M
1
+ M
2
∂
∂R
,
∂
∂r
2
=
∂r
∂r
2
∂
∂r
+
∂R
∂r
2
∂
∂R
(2.55)
= −
∂
∂r
+
M
2
M
1
+ M
2
∂
∂R
,
откуда, в силу независимости частных производных от порядка диф-
ференцирования, имеем:
∇
2
1
=
∂
2
∂r
2
1
=
∂
2
∂r
2
+
2M
1
M
1
+ M
2
∂
2
∂r ∂R
+
M
1
M
1
+ M
2
2
∂
2
∂R
2
,
∇
2
2
=
∂
2
∂r
2
2
=
∂
2
∂r
2
−
2M
2
M
1
+ M
2
∂
2
∂r ∂R
+
M
2
M
1
+ M
2
2
∂
2
∂R
2
.
(2.56)
Будем искать решение уравнения (2.54) в виде
Ψ(r
1
, r
2
) = ψ(r)Φ(R). (2.57)
После подстановки (2.56) и (2.57) в (2.54) и деления обеих частей урав-
нения на (2.57) получаем уравнение с разделенными переменными r и
R:
−
}
2
2m
∇
2
r
ψ(r)
ψ(r)
+ V (r) =
}
2
2M
∇
2
R
Φ(R)
Φ(R)
− E, (2.58)
                                      74


и ситуация существенно упрощается. Исследуем именно этот случай.
    Рассмотрим двухчастичное уравнение Шредингера с потенциалом
(2.53):

     }2  2                 }2
  −     ∇ Ψ(r 1 , r 2 ) −     ∇2 Ψ(r 1 , r 2 ) + V (r 1 − r 2 )Ψ(r 1 , r 2 ) =
    2M1 1                 2M2 2
                                                         = EΨ(r 1 , r 2 ). (2.54)

В нем удобно перейти к новым переменным r, R, связанным с r 1 , r 2
соотношениями:
                                            M1 r 1 + M 2 r 2
                   r = r1 − r2 ,      R=                     .                (2.55)
                                             M1 + M 2
В классической механике r является относительной координатой ма-
териальных точек, R — координатой их центра масс; преобразование
(2.55) называется переходом в систему центра масс.
    Запишем уравнение (2.54) в системе центра масс. Для этого выразим
операторы ∇1 и ∇2 через ∇r и ∇R :
             ∂     ∂r ∂     ∂R ∂       (2.55) ∂       M1    ∂
                 =        +             =        +             ,
            ∂r 1   ∂r 1 ∂r ∂r 1 ∂R            ∂r   M1 + M2 ∂R
             ∂     ∂r ∂     ∂R ∂       (2.55)   ∂      M2     ∂
                 =        +              = −       +             ,
            ∂r 2   ∂r 2 ∂r ∂r 2 ∂R             ∂r    M1 + M2 ∂R
откуда, в силу независимости частных производных от порядка диф-
ференцирования, имеем:
                                                                2
            ∂2      ∂2      2M1      ∂2               M1               ∂2
    ∇21   =       =      +               +                                ,
            ∂r 21   ∂r 2   M1 + M2 ∂r ∂R            M1 + M 2          ∂R2
                                                                2           (2.56)
          ∂2      ∂2      2M2      ∂2                 M2               ∂2
    ∇22 =       =      −               +                                  .
          ∂r 22   ∂r 2   M1 + M2 ∂r ∂R              M1 + M 2          ∂R2

   Будем искать решение уравнения (2.54) в виде

                           Ψ(r 1 , r 2 ) = ψ(r)Φ(R).                          (2.57)

После подстановки (2.56) и (2.57) в (2.54) и деления обеих частей урав-
нения на (2.57) получаем уравнение с разделенными переменными r и
R:
                 }2 ∇2r ψ(r)            }2 ∇2R Φ(R)
              −              + V (r) =              − E,          (2.58)
                 2m ψ(r)               2M Φ(R)

Страницы