Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

76
После подстановки (2.46) в (2.45) и преобразований с учетом (2.31) при-
ходим к радиальному уравнению Шредингера (см. (2.47)):
−
}
2
2m
d
2
dr
2
R
El
(r) +
}
2
2m
l(l + 1)
r
2
−
Ze
2
r
R
El
(r) = ER
El
(r), (2.63)
где l = 0, 1, . . .
Уравнение (2.63) описывает одномерное движение в эффективном
потенциале
V
eff
(r) = −
Ze
2
r
+
}
2
l(l + 1)
2mr
2
. (2.64)
График V
eff
(r) дается на рис. 2.7.
Рис. 2.7.
При E < 0 движение будет финитным, т.к. электрон находится в
«потенциальной яме», образованной возрастающим кулоновским потен-
циалом и квадратично убывающим центробежным отталкиванием; при
E > 0 — инфинитным. Мы будем рассматривать случай финитного
движения, т.е. связанных состояний с дискретным спектром энергии.
Таким образом, электрон и атомное ядро с зарядом Z образуют связан-
ную атомную систему с одним электроном: случай Z = 1 соответствует
атому водорода, Z = 2 — иону He
+
, Z = 3 — иону Li
2+
и т.д. В дальней-
шем мы будем использовать также понятие «водородоподобный ион».
Будем искать энергии стационарных состояний и волновые функции
относительного движения в водородоподобном ионе. Для связанных со-
стояний граничные условия к уравнению (2.63) даются выражениями
(2.49) и (2.50). Неизвестными являются E и R
El
(r).
Для решения уравнения (2.63) используем тот же самый метод, что
и в случае осциллятора. Прежде всего перейдем в (2.63) к безразмер-
ной координате ρ = rZ/a
0
(константа a
0
с размерностью длины будет
                                  76


После подстановки (2.46) в (2.45) и преобразований с учетом (2.31) при-
ходим к радиальному уравнению Шредингера (см. (2.47)):
                        2             
      }2 d 2            } l(l + 1) Ze2
    −        REl (r) +            −      REl (r) = EREl (r),     (2.63)
      2m dr2            2m r2       r

где l = 0, 1, . . .
   Уравнение (2.63) описывает одномерное движение в эффективном
потенциале
                                   Ze2   }2 l(l + 1)
                      Veff (r) = −     +             .    (2.64)
                                    r      2mr2
График Veff (r) дается на рис. 2.7.




                               Рис. 2.7.

    При E < 0 движение будет финитным, т.к. электрон находится в
«потенциальной яме», образованной возрастающим кулоновским потен-
циалом и квадратично убывающим центробежным отталкиванием; при
E > 0 — инфинитным. Мы будем рассматривать случай финитного
движения, т.е. связанных состояний с дискретным спектром энергии.
Таким образом, электрон и атомное ядро с зарядом Z образуют связан-
ную атомную систему с одним электроном: случай Z = 1 соответствует
атому водорода, Z = 2 — иону He+ , Z = 3 — иону Li2+ и т.д. В дальней-
шем мы будем использовать также понятие «водородоподобный ион».
    Будем искать энергии стационарных состояний и волновые функции
относительного движения в водородоподобном ионе. Для связанных со-
стояний граничные условия к уравнению (2.63) даются выражениями
(2.49) и (2.50). Неизвестными являются E и REl (r).
    Для решения уравнения (2.63) используем тот же самый метод, что
и в случае осциллятора. Прежде всего перейдем в (2.63) к безразмер-
ной координате ρ = rZ/a0 (константа a0 с размерностью длины будет

Страницы