Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

78
При ρ 1 в (2.66) можно пренебречь и кулоновским, и центробеж-
ным слагаемыми:
d
2
R
εl
dρ
2
+ 2εR
εl
(ρ) = 0 (2.71)
и искать решение (2.71) в виде R
εl
(ρ) = e
−αρ
с неизвестным α. После
соответствующей подстановки в (2.71) находим
α =
√
−2ε. (2.72)
Решение с α = −
√
−2ε необходимо исключить, так как оно противоре-
чит граничному условию (2.68) (напомним, что ε < 0).
Таким образом, решение уравнения (2.66) следует искать в виде:
R
εl
(ρ) = v(ρ) e
−αρ
, (2.73)
где неизвестная функция v(ρ), с одной стороны, при ρ 1 должна
иметь вид (2.70), а с другой, вследствие (2.68), должна удовлетворять
условию:
v(ρ) e
−αρ
ρ→∞
→ 0. (2.74)
Функцию v(ρ) удобно представить в виде ряда
v(ρ) =
∞
X
ν=0
β
ν
ρ
ν+l+1
(2.75)
с неизвестными коэффициентами β
ν
.
Подстановка (2.73) и (2.75) в (2.66) приводит к следующему рекур-
рентному соотношению для коэффициентов β
ν
:
β
ν+1
=
2[α(ν + l + 1) − 1]
(ν + l + 2)(ν + l + 1) − l(l + 1)
β
ν
, (2.76)
позволяющему выразить все слагаемые ряда (2.75) через произвольное
β
0
, которое может быть определено из условия нормировки.
При ν 1
β
ν
β
ν−1
'
2α
ν
.
Это означает, что при произвольном α ряд (2.75) ведет себя как e
2αρ
(проверить самостоятельно!), что противоречит граничному условию
(2.68). Параметр α в рекуррентном соотношении (2.76) является неиз-
вестным, поскольку он связан с подлежащей определению энергией E
                                    78


  При ρ  1 в (2.66) можно пренебречь и кулоновским, и центробеж-
ным слагаемыми:
                       d2 Rεl
                              + 2εRεl (ρ) = 0               (2.71)
                        dρ2
и искать решение (2.71) в виде Rεl (ρ) = e−αρ с неизвестным α. После
соответствующей подстановки в (2.71) находим
                                 √
                             α = −2ε.                          (2.72)
               √
Решение с α = − −2ε необходимо исключить, так как оно противоре-
чит граничному условию (2.68) (напомним, что ε < 0).
   Таким образом, решение уравнения (2.66) следует искать в виде:

                          Rεl (ρ) = v(ρ) e−αρ ,                 (2.73)

где неизвестная функция v(ρ), с одной стороны, при ρ  1 должна
иметь вид (2.70), а с другой, вследствие (2.68), должна удовлетворять
условию:
                          v(ρ) e−αρ ρ→∞ → 0.                    (2.74)
Функцию v(ρ) удобно представить в виде ряда
                                   ∞
                                   X
                          v(ρ) =         βν ρν+l+1              (2.75)
                                   ν=0

с неизвестными коэффициентами βν .
   Подстановка (2.73) и (2.75) в (2.66) приводит к следующему рекур-
рентному соотношению для коэффициентов βν :

                              2[α(ν + l + 1) − 1]
              βν+1 =                                     βν ,   (2.76)
                       (ν + l + 2)(ν + l + 1) − l(l + 1)

позволяющему выразить все слагаемые ряда (2.75) через произвольное
β0 , которое может быть определено из условия нормировки.
     При ν  1
                              βν    2α
                                  '    .
                             βν−1    ν
Это означает, что при произвольном α ряд (2.75) ведет себя как e2αρ
(проверить самостоятельно!), что противоречит граничному условию
(2.68). Параметр α в рекуррентном соотношении (2.76) является неиз-
вестным, поскольку он связан с подлежащей определению энергией E

Страницы