Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

79
соотношениями (2.72) и (2.65). Поэтому, если выбрать этот параметр в
виде
α = α
n
r
l
= (n
r
+ l + 1)
−1
, n
r
= 0, 1, . . . , (2.77)
ряд (2.75) оборвется, превратившись в полином. Соответственно из
(2.77), (2.72), (2.65) находим энергии стационарных состояний электро-
на в водородоподобном ионе:
E
n
r
l
= −
Z
2
2(n
r
+ l + 1)
2
e
2
a
0
, l, n
r
= 0, 1, . . . (2.78)
Параметр n
r
называется радиальным квантовым числом. Оно нумеру-
ет состояния одномерного движения в эффективном потенциале (2.64)
при заданном значении орбитального квантового числа l и число нулей
(узлов) соответствующей радиальной волновой функции.
Как видно из (2.78), энергии E
n
r
l
зависят только от суммы кван-
товых чисел n
r
и l, но не от них самих по отдельности. Это означает,
что после введения обозначения
n = n
r
+ l + 1
спектр (2.78) примет вид:
E
n
= −
Z
2
2n
2
e
2
a
0
, n = 1, 2 . . . (2.79)
Мы получили формулу Бора. Так как радиальное квантовое число n
r
принимает значения 0,1,. . . , то квантовое число l при фиксированном
n будет принимать значения l = n − n
r
− 1 = 0, 1, . . . , n − 1, т.е. всего
n значений. Таким образом, энергетические уровни (2.79) вырожде-
ны по величине L
2
с кратностью l + 1. Это так называемое «случай-
ное» вырождение обусловлено спецификой кулоновского потенциала,
а именно наличием дополнительного интеграла движения — вектора
Рунге–Ленца, которому соответствует оператор
ˆ
A =
r
r
−
[
ˆ
p ×
ˆ
L] − [
ˆ
L ×
ˆ
p]
µZe
2
.
Учитывая вырождение каждого значения L
2
по величине L
z
, получаем
кратность вырождения уровней (2.79):
g
n
=
n−1
X
l=0
(2l + 1) = n
2
, (2.80)
                                           79


соотношениями (2.72) и (2.65). Поэтому, если выбрать этот параметр в
виде
            α = αnr l = (nr + l + 1)−1 ,   nr = 0, 1, . . . ,  (2.77)
ряд (2.75) оборвется, превратившись в полином. Соответственно из
(2.77), (2.72), (2.65) находим энергии стационарных состояний электро-
на в водородоподобном ионе:
                                Z2        e2
              E nr l = −                     ,        l, nr = 0, 1, . . .   (2.78)
                           2(nr + l + 1)2 a0
Параметр nr называется радиальным квантовым числом. Оно нумеру-
ет состояния одномерного движения в эффективном потенциале (2.64)
при заданном значении орбитального квантового числа l и число нулей
(узлов) соответствующей радиальной волновой функции.
    Как видно из (2.78), энергии Enr l зависят только от суммы кван-
товых чисел nr и l, но не от них самих по отдельности. Это означает,
что после введения обозначения
                                 n = nr + l + 1
спектр (2.78) примет вид:

                            Z 2 e2
                      En = − 2 ,                 n = 1, 2 . . .             (2.79)
                            2n a0
Мы получили формулу Бора. Так как радиальное квантовое число nr
принимает значения 0,1,. . . , то квантовое число l при фиксированном
n будет принимать значения l = n − nr − 1 = 0, 1, . . . , n − 1, т.е. всего
n значений. Таким образом, энергетические уровни (2.79) вырожде-
ны по величине L2 с кратностью l + 1. Это так называемое «случай-
ное» вырождение обусловлено спецификой кулоновского потенциала,
а именно наличием дополнительного интеграла движения — вектора
Рунге–Ленца, которому соответствует оператор

                                r [p̂ × L̂] − [L̂ × p̂]
                       Â =       −                     .
                                r        µZe2
Учитывая вырождение каждого значения L2 по величине Lz , получаем
кратность вырождения уровней (2.79):

                                    n−1
                                    X
                             gn =         (2l + 1) = n2 ,                   (2.80)
                                    l=0

Страницы