Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

77
определена позднее; это «естественная» единица длины для атома, поз-
воляющая существенно упростить все математические выкладки):
d
2
R
εl
dρ
2
−
l(l + 1)
ρ
2
R
εl
(ρ) +
ma
0
e
2
}
2
| {z }
1
2
ρ
R
εl
(ρ) + 2
ma
2
0
}
2
Z
2
E
| {z }
ε
R
εl
(ρ) = 0,
где R
εl
(ρ) = R
El
(r). Константу a
0
определим, потребовав обращения
в единицу множителя перед 2/ρ. Если в качестве ядра рассматривать
протон, то приведенная масса m будет слабо отличаться от массы элек-
трона (m
p
/m
e
≈ 1836). Для электрона a
0
= 0,529
˚
A — так называемый
боровский радиус, или атомная единица длины. Соответственно вели-
чина }
2
/ma
2
0
= e
2
/a
0
= 27,24 эВ называется атомной единицей энер-
гии. Постоянный коэффициент перед R
εl
(ρ) тоже будет безразмерным.
Обозначим его ε. Таким образом, в безразмерных переменных
R
εl
(ρ) = R
El
(r); ρ =
r
Za
0
; a
0
=
}
2
me
2
; ε =
E
Z
2
E
0
; E
0
=
e
2
a
0
(2.65)
краевая задача (2.63), (2.49), (2.50) принимает вид:
d
2
R
εl
dρ
2
−
l(l + 1)
ρ
2
R
εl
(ρ) +
2
ρ
R
εl
(ρ) + 2εR
εl
(ρ) = 0; (2.66)
R
εl
(0) = 0; (2.67)
R
εl
(∞) = 0; (2.68)
Неизвестными в ней являются ε и R
εl
(ρ), связанные с E и R
El
(r) со-
отношениями (2.65). Решение задачи всегда будет удовлетворять стан-
дартному условию непрерывности вследствие непрерывности коэффи-
циентов уравнения (2.66).
Исследуем решение уравнения (2.66) в особых точках ρ = 0, ∞.
При ρ 1 в (2.66) достаточно ограничиться центробежным слагае-
мым:
d
2
R
εl
dρ
2
−
l(l + 1)
ρ
2
R
εl
(ρ) = 0 (2.69)
и искать решение (2.69) в виде R
εl
(ρ) = ρ
λ
с неизвестным λ. После
соответствующей подстановки в (2.69) находим:
λ = l + 1, −l.
Второе решение не удовлетворяет граничному условию (2.67) и должно
быть исключено. Таким образом, в окрестности нуля решение уравне-
ние (2.66) имеет вид:
R
εl
(ρ) ∼ ρ
l+1
. (2.70)
                                       77


определена позднее; это «естественная» единица длины для атома, поз-
воляющая существенно упростить все математические выкладки):
    d2 Rεl   l(l + 1)            ma0 e2 2               ma20
           −          R εl (ρ) +          R εl (ρ) + 2        E Rεl (ρ) = 0,
     dρ2        ρ2                 } 2
                                 | {z } ρ              } 2Z 2
                                                       | {z }
                                   1                      ε

где Rεl (ρ) = REl (r). Константу a0 определим, потребовав обращения
в единицу множителя перед 2/ρ. Если в качестве ядра рассматривать
протон, то приведенная масса m будет слабо отличаться от массы элек-
трона (mp /me ≈ 1836). Для электрона a0 = 0,529 Å — так называемый
боровский радиус, или атомная единица длины. Соответственно вели-
чина }2 /ma20 = e2 /a0 = 27,24 эВ называется атомной единицей энер-
гии. Постоянный коэффициент перед Rεl (ρ) тоже будет безразмерным.
Обозначим его ε. Таким образом, в безразмерных переменных
                            r               }2         E                e2
   Rεl (ρ) = REl (r);   ρ=     ;       a0 =     ;   ε= 2 ;         E0 =
                           Za0              me2       Z E0              a0
                                                                        (2.65)
краевая задача (2.63), (2.49), (2.50) принимает вид:
        d2 Rεl   l(l + 1)             2
               −          R εl (ρ) +    Rεl (ρ) + 2εRεl (ρ) = 0;          (2.66)
         dρ2        ρ2                ρ
                                 Rεl (0) = 0;                             (2.67)
                                 Rεl (∞) = 0;                             (2.68)
   Неизвестными в ней являются ε и Rεl (ρ), связанные с E и REl (r) со-
отношениями (2.65). Решение задачи всегда будет удовлетворять стан-
дартному условию непрерывности вследствие непрерывности коэффи-
циентов уравнения (2.66).
   Исследуем решение уравнения (2.66) в особых точках ρ = 0, ∞.
   При ρ  1 в (2.66) достаточно ограничиться центробежным слагае-
мым:
                      d2 Rεl   l(l + 1)
                             −          Rεl (ρ) = 0              (2.69)
                       dρ2        ρ2
и искать решение (2.69) в виде Rεl (ρ) = ρλ с неизвестным λ. После
соответствующей подстановки в (2.69) находим:
                                λ = l + 1, −l.
Второе решение не удовлетворяет граничному условию (2.67) и должно
быть исключено. Таким образом, в окрестности нуля решение уравне-
ние (2.66) имеет вид:
                           Rεl (ρ) ∼ ρl+1 .                   (2.70)

Страницы