Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

84
Вычислим плотность потока вероятности в состояниях (2.82) по
формуле (1.93). Вспомним вид градиента в сферических координатах:
∇ =
∂
∂r
,
1
r
∂
∂θ
,
1
r sin θ
∂
∂ϕ
. (2.88)
Функции (2.82) факторизуются в произведение трех сомножителей,
каждый из которых является соответственно функцией либо r, либо
θ, либо ϕ. Первые две вещественны, поэтому в соответствии с (2.82),
(2.88), радиальная и «меридиональная» составляющие тока обращают-
ся в нуль: j
r
= j
θ
= 0 (см. рис. 2.10). Функция (2.82) зависит от ϕ
только через множитель e
imϕ
, поэтому «параллельная» составляющая
тока j
ϕ
будет ненулевой:
j(r) = j
ϕ
e
ϕ
=
}m
l
m
1
r sin θ
|Ψ
nlm
l
(r)|
2
e
ϕ
. (2.89)
Это свидетельствует о существовании замкнутых токов в атоме.
Как известно из курса электродинамики, замкнутые токи создают
магнитный момент:
M =
1
2c
Z
[r × j
e
] d
3
r = −
e
2c
Z
[r × j(r)] d
3
r. (2.90)
Вычислим магнитный момент водородоподобного иона в состоянии
(2.82), подставив выражение для тока (2.89) в (2.90):
M = −
e}m
l
2mc
Z
1
r sin θ
|Ψ
nlm
l
(r)|
2
[r × e
ϕ
]
| {z }
re
θ
d
3
r.
Найдем декартовы компоненты вектора M. Принимая во внимание,
что [r × e
ϕ
] = re
θ
, (e
θ
)
z
= sin θ, (e
θ
)
x
= −cos θ cos ϕ, (e
θ
)
y
=
−cos θ sin ϕ, а также учитывая, что
R
2π
0
sin ϕ =
R
2π
0
cos ϕ = 0, получаем:
M = −
e}m
l
2mc
e
z
Z
|Ψ
nlm
l
(r)|
2
d
3
r
| {z }
1
= −µ
B
m
l
e
z
, (2.91)
где µ
B
= e}/(2mc) — магнетон Бора. Для электрона µ
B
= 9,27 ·
10
−24
Дж/Тл. Таким образом, проекция магнитного момента в ато-
ме квантуется. Она может принимать только те значения, которые
кратны магнетону Бора:
M
z
= −µ
B
m
l
, (2.92)
                                    84


  Вычислим плотность потока вероятности в состояниях (2.82) по
формуле (1.93). Вспомним вид градиента в сферических координатах:
                                            
                          ∂ 1 ∂      1     ∂
                    ∇=      ,    ,             .            (2.88)
                          ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
Функции (2.82) факторизуются в произведение трех сомножителей,
каждый из которых является соответственно функцией либо r, либо
θ, либо ϕ. Первые две вещественны, поэтому в соответствии с (2.82),
(2.88), радиальная и «меридиональная» составляющие тока обращают-
ся в нуль: jr = jθ = 0 (см. рис. 2.10). Функция (2.82) зависит от ϕ
только через множитель eimϕ , поэтому «параллельная» составляющая
тока jϕ будет ненулевой:
                                }ml 1
               j(r) = jϕ eϕ =              |Ψnlml (r)|2 eϕ .     (2.89)
                                 m r sin θ
Это свидетельствует о существовании замкнутых токов в атоме.
   Как известно из курса электродинамики, замкнутые токи создают
магнитный момент:
                     Z                       Z
                  1                3      e
            M=         [r × j e ] d r = −      [r × j(r)] d3 r. (2.90)
                  2c                      2c
Вычислим магнитный момент водородоподобного иона в состоянии
(2.82), подставив выражение для тока (2.89) в (2.90):
                         Z
                    e}ml      1
             M=−                   |Ψnlml (r)|2 [r × eϕ ] d3 r.
                     2mc   r sin θ              | {z }
                                                    reθ

Найдем декартовы компоненты вектора M. Принимая во внимание,
что [r × eϕ ] = reθ , (eθ )z = sin θ, (eθ )x = − cos θ cos ϕ, (eθ )y =
                                    R 2π         R 2π
− cos θ sin ϕ, а также учитывая, что 0 sin ϕ = 0 cos ϕ = 0, получаем:
                             Z
                      e}ml
               M=−         ez |Ψnlml (r)|2 d3 r = −µB ml ez ,    (2.91)
                       2mc
                             |      {z        }
                                      1

где µB = e}/(2mc) — магнетон Бора. Для электрона µB = 9,27 ·
10−24 Дж/Тл. Таким образом, проекция магнитного момента в ато-
ме квантуется. Она может принимать только те значения, которые
кратны магнетону Бора:

                            Mz = −µB ml ,                        (2.92)

Страницы