Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

87
формуле (3.1), а знание Ψ
a
(r) позволяет найти все c
a
(G
n
):
c
a
(G
n
) =
Z
Φ
∗
G
n
(r)Ψ
a
(r) d
3
r. (3.2)
Упорядоченный набор c
a
(G
n
) называется волновой функцией состо-
яния «a» в G-представлении. Для наглядности его удобно изобразить
в виде столбца:
c
a
(G) =
c
a
(G
1
)
c
a
(G
2
)
.
.
.
. (3.3)
Величина |c
a
(G
n
)|
2
(т.е. квадрат модуля волновой функции в G-
представлении) дает распределение вероятностей различных значений
величины G в состоянии, характеризуемом набором квантовых чисел
«a» (напомним, что квадрат модуля волновой функции в координатном
(r-) представлении дает распределение вероятностей различных значе-
ний координат в состоянии «a», т.е. аргумента волновой функции Ψ
a
(r),
который в теории представлений называется индексом представления).
Отметим, что все вышесказанное справедливо для оператора
ˆ
G как
с дискретным, так и с непрерывным спектром. В последнем случае G
n
является непрерывной величиной, а суммирование в (3.1) заменяется
интегрированием:
Ψ
a
(r) =
Z
c
a
(G)Φ
G
(r) dG; (3.4)
c
a
(G) =
Z
Φ
∗
G
(r)Ψ
a
(r) d
3
r. (3.5)
Рассмотрим теперь частный случай, когда Ψ
a
(r) cовпадает с одной
из собственных функций оператора
ˆ
G, например, Φ
G
m
(r). Тогда из (3.2)
cледует, что
c
a
(G
n
) =
Z
Φ
∗
G
n
(r)Φ
G
m
(r) d
3
r = δ
G
n
G
m
= δ
nm
. (3.6)
Таким образом, собственная функция оператора
ˆ
G в G-представлении
имеет вид δ-символа (для дискретного спектра) или δ-функции (для
непрерывного спектра).
                                        87


формуле (3.1), а знание Ψa (r) позволяет найти все ca (Gn ):
                                   Z
                     ca (Gn ) =        Φ∗Gn (r)Ψa (r) d3 r.          (3.2)


   Упорядоченный набор ca (Gn ) называется волновой функцией состо-
яния «a» в G-представлении. Для наглядности его удобно изобразить
в виде столбца:                            
                                   ca (G1 )
                                           
                        ca (G) =  c  (G
                                  a 2 . )                  (3.3)
                                       ..
                                        .
Величина |ca (Gn )|2 (т.е. квадрат модуля волновой функции в G-
представлении) дает распределение вероятностей различных значений
величины G в состоянии, характеризуемом набором квантовых чисел
«a» (напомним, что квадрат модуля волновой функции в координатном
(r-) представлении дает распределение вероятностей различных значе-
ний координат в состоянии «a», т.е. аргумента волновой функции Ψa (r),
который в теории представлений называется индексом представления).
    Отметим, что все вышесказанное справедливо для оператора Ĝ как
с дискретным, так и с непрерывным спектром. В последнем случае Gn
является непрерывной величиной, а суммирование в (3.1) заменяется
интегрированием:
                              Z
                      Ψa (r) = ca (G)ΦG (r) dG;                 (3.4)
                              Z
                      ca (G) = Φ∗G (r)Ψa (r) d3 r.              (3.5)

    Рассмотрим теперь частный случай, когда Ψa (r) cовпадает с одной
из собственных функций оператора Ĝ, например, ΦGm (r). Тогда из (3.2)
cледует, что
                         Z
            ca (Gn ) =       Φ∗Gn (r)ΦGm (r) d3 r = δGn Gm = δnm .   (3.6)


Таким образом, собственная функция оператора Ĝ в G-представлении
имеет вид δ-символа (для дискретного спектра) или δ-функции (для
непрерывного спектра).

Страницы