Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

89
комплексное векторное пространство бесконечного числа измерений,
которое называется гильбертовым пространством.
Каждому «кет»-вектору можно сопоставить так называемый дуаль-
ный вектор «бра», который обозначается символом ha| и связан с «кет»-
вектором операцией эрмитова сопряжения: ha| = |ai
†
. Поэтому любое
состояние квантовой системы можно описать как «кет»-вектором, так и
соответствующим ему «бра»-вектором. «Кет»- и «бра»-векторы имеют
различную математическую природу (как, например, строка и столбец)
и принадлежат различным гильбертовым пространствам, поэтому их
нельзя складывать. Это комплексные величины особого рода, которые
не могут быть разделены на чисто вещественную и чисто мнимую ча-
сти. Действие любого оператора на «кет»-вектор, переводящего его в
другой «кет»-вектор того же гильбертова пространства, осуществля-
ется слева направо и по отношению к операции эрмитова сопряжения
рассматривается как произведение, т.е. если
|bi =
ˆ
G |ai, то (|bi)
†
= hb| = (
ˆ
G |ai)
†
= (|ai)
†
ˆ
G
†
= ha|
ˆ
G
†
.
Таким образом, действие оператора на «кет»-вектор слева направо
эквивалентно действию эрмитово сопряженного оператора на соот-
ветствующий вектору «кет» дуальный (то есть «бра»-) вектор спра-
ва налево.
Скалярное произведение «кет»-векторов |ai и |bi строится перемно-
жением hb| и |ai: hb|ai
1
. Скалярное произведение является обычным
комплексным числом и удовлетворяет соотношению hb|ai = ha |bi
∗
(ана-
логично скалярному произведению обычных комплексных функций
a(r) и b(r) в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых
функций, зависящих от r:
R
a
∗
(r)b(r) d
3
r).
Векторы, соответствующие состояниям финитного движения, мож-
но нормировать условием ha |ai = 1.
Базисные векторы линейного эрмитова оператора
ˆ
G (
ˆ
G |G
n
i =
G
n
|G
n
i) удовлетворяют условию ортонормировки
hG
n
|G
m
i = δ
G
n
G
m
= δ
nm
. (3.10)
Свойство (3.10) записано для дискретного спектра. В случае непрерыв-
ного спектра δ-символ заменяется δ-функцией.
Конструкция
ˆ
F = |biha|, в отличие от hb |ai, является оператором,
т.к. при его действии на («кет» или «бра») вектор получается новый
1
Термины «бра» и «кет» соответствуют частям английского слова bracket — скоб-
ка, т.к. скалярное произведение обозначается такой скобкой
                                          89


комплексное векторное пространство бесконечного числа измерений,
которое называется гильбертовым пространством.
   Каждому «кет»-вектору можно сопоставить так называемый дуаль-
ный вектор «бра», который обозначается символом ha| и связан с «кет»-
                                                  †
вектором операцией эрмитова сопряжения: ha| = |ai . Поэтому любое
состояние квантовой системы можно описать как «кет»-вектором, так и
соответствующим ему «бра»-вектором. «Кет»- и «бра»-векторы имеют
различную математическую природу (как, например, строка и столбец)
и принадлежат различным гильбертовым пространствам, поэтому их
нельзя складывать. Это комплексные величины особого рода, которые
не могут быть разделены на чисто вещественную и чисто мнимую ча-
сти. Действие любого оператора на «кет»-вектор, переводящего его в
другой «кет»-вектор того же гильбертова пространства, осуществля-
ется слева направо и по отношению к операции эрмитова сопряжения
рассматривается как произведение, т.е. если

       |bi = Ĝ |ai ,   то    (|bi)† = hb| = (Ĝ |ai)† = (|ai)† Ĝ† = ha| Ĝ† .

Таким образом, действие оператора на «кет»-вектор слева направо
эквивалентно действию эрмитово сопряженного оператора на соот-
ветствующий вектору «кет» дуальный (то есть «бра»-) вектор спра-
ва налево.
   Скалярное произведение «кет»-векторов |ai и |bi строится перемно-
жением hb| и |ai: hb |ai1 . Скалярное произведение является обычным
комплексным числом и удовлетворяет соотношению hb |ai = ha |bi∗ (ана-
логично скалярному произведению обычных комплексных функций
a(r) и b(r) в гильбертовомRпространстве квадратично-интегрируемых
функций, зависящих от r: a∗ (r)b(r) d3 r).
   Векторы, соответствующие состояниям финитного движения, мож-
но нормировать условием ha |ai = 1.
   Базисные векторы линейного эрмитова оператора Ĝ (Ĝ |Gn i =
Gn |Gn i) удовлетворяют условию ортонормировки

                             hGn |Gm i = δGn Gm = δnm .                           (3.10)

Свойство (3.10) записано для дискретного спектра. В случае непрерыв-
ного спектра δ-символ заменяется δ-функцией.
    Конструкция F̂ = |biha|, в отличие от hb |ai, является оператором,
т.к. при его действии на («кет» или «бра») вектор получается новый
  1 Термины   «бра» и «кет» соответствуют частям английского слова bracket — скоб-
ка, т.к. скалярное произведение обозначается такой скобкой

Страницы