Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

91
Набор коэффициентов перехода hF
n
|G
m
i образует F -представление со-
стояния |G
m
i (см. также (3.2), (3.5)). Обобщение (3.13) на случай непре-
рывного спектра очевидно.
Очень часто, если это не вызывает недоразумений, в обозначении
дираковского вектора вместо определенного значения физической ве-
личины G для краткости указывается лишь набор соответствующих
квантовых чисел: |G
n
i ≡ |ni.
Ниже всюду взаимосвязь различных представлений будет даваться
в дираковском формализме.
3.3. Теория представлений для операторов физиче-
ских величин
В конкретных вычислениях необходимо использовать одинаковое
представление как для векторов состояний, так и для операторов. По-
добно векторам состояний, оператору
ˆ
F в G-представлении сопостав-
ляется упорядоченный набор коэффициентов его разложения по бази-
су оператора
ˆ
G. В дираковской форме этот базис представляет собой
операторную конструкцию |G
k
ihG
n
|, так что разложение выглядит сле-
дующим образом:
ˆ
F =
X
kn
|G
k
iF
kn
hG
n
|. (3.14)
Выражение для коэффициентов F
kn
получается из (3.14) на основе
свойства ортонормировки (3.10):
F
kn
= hG
k
|
ˆ
F |G
n
i. (3.15)
Конструкция в правой части (3.15) называется матричным элементом
оператора
ˆ
F в G-представлении. Легко заметить, что среднее значение
величины F в состоянии |G
n
i равно соответствующему диагональному
матричному элементу. На основе соотношения полноты (3.11) можно
также получить формулу, связывающую матричный элемент произве-
дения операторов с матричными элементами каждого сомножителя в
одном и том же базисе {|G
n
i}:
hG
n
|
ˆ
A
ˆ
B |G
n
0
i =
X
n
00
hG
n
|
ˆ
A |G
n
00
ihG
n
00
|
ˆ
B |G
n
0
i. (3.16)
Соотношение (3.16) полностью эквивалентно алгебраическому правилу
перемножения матриц.
                                         91


Набор коэффициентов перехода hFn |Gm i образует F -представление со-
стояния |Gm i (см. также (3.2), (3.5)). Обобщение (3.13) на случай непре-
рывного спектра очевидно.
   Очень часто, если это не вызывает недоразумений, в обозначении
дираковского вектора вместо определенного значения физической ве-
личины G для краткости указывается лишь набор соответствующих
квантовых чисел: |Gn i ≡ |ni.
   Ниже всюду взаимосвязь различных представлений будет даваться
в дираковском формализме.

3.3.    Теория представлений для операторов физиче-
        ских величин
   В конкретных вычислениях необходимо использовать одинаковое
представление как для векторов состояний, так и для операторов. По-
добно векторам состояний, оператору F̂ в G-представлении сопостав-
ляется упорядоченный набор коэффициентов его разложения по бази-
су оператора Ĝ. В дираковской форме этот базис представляет собой
операторную конструкцию |Gk ihGn |, так что разложение выглядит сле-
дующим образом:
                                 X
                          F̂ =         |Gk i Fkn hGn | .              (3.14)
                                 kn

Выражение для коэффициентов Fkn получается из (3.14) на основе
свойства ортонормировки (3.10):

                            Fkn = hGk | F̂ |Gn i .                    (3.15)

Конструкция в правой части (3.15) называется матричным элементом
оператора F̂ в G-представлении. Легко заметить, что среднее значение
величины F в состоянии |Gn i равно соответствующему диагональному
матричному элементу. На основе соотношения полноты (3.11) можно
также получить формулу, связывающую матричный элемент произве-
дения операторов с матричными элементами каждого сомножителя в
одном и том же базисе {|Gn i}:
                                X
            hGn | ÂB̂ |Gn0 i =   hGn | Â |Gn00 i hGn00 | B̂ |Gn0 i . (3.16)
                                 n00

Соотношение (3.16) полностью эквивалентно алгебраическому правилу
перемножения матриц.

Страницы