Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

92
Исследуем структуру матрицы линейного эрмитова оператора
ˆ
G в
своем собственном представлении.
Вновь ограничимся случаем дискретного спектра:
hG
k
|
ˆ
G |G
n
i = G
n
hG
k
|G
n
i
(3.10)
= G
n
δ
kn
.
В случае непрерывного спектра (n → F, k → F
0
) в правой части полу-
чим δ-функцию δ(F − F
0
). Таким образом, в своем собственном пред-
ставлении матрица линейного эрмитова оператора будет диагональ-
ной.
Получим правило действия оператора
ˆ
F на вектор |ai в G-
представлении.
Пусть |bi =
ˆ
F |ai. Домножим это соотношение слева на базисный
вектор hG
n
|:
hG
n
|bi = hG
n
|
ˆ
F |ai = hG
n
|
ˆ
F
ˆ
1 |ai
(3.11)
=
X
m
hG
n
|
ˆ
F |G
m
ihG
m
|ai (3.17)
— обычное правило умножения матрицы на столбец:
hG
1
|bi
hG
2
|bi
.
.
.
=
hG
1
|
ˆ
F |G
1
i hG
1
|
ˆ
F |G
2
i . . .
hG
2
|
ˆ
F |G
1
i hG
2
|
ˆ
F |G
2
i . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
hG
1
|ai
hG
2
|ai
.
.
.
.
В случае непрерывного спектра имеем:
hG|bi =
Z
dG
0
hG|
ˆ
F |G
0
ihG
0
|ai. (3.18)
Это интегральное преобразование с ядром hG|
ˆ
F |G
0
i.
Использованные ранее операторы в координатном представлении
также могут быть записаны в матричной форме: hr|
ˆ
r |r
0
i = r δ(r −r
0
);
hr|p |r
0
i = δ(r − r
0
)(−i}∇
r
0
) и т.д. При этом интегрирование (3.18) по
d
3
r
0
снимается δ-функцией.
Правило пересчета матричного элемента из одного представления
в другое легко выводится из свойства полноты (3.11), например, для
перехода от ξ-представления к G-представлению оператора
ˆ
F имеем:
hG
k
|
ˆ
F |G
n
i = hG
k
|
ˆ
1
ˆ
F
ˆ
1 |G
n
i =
X
ξ ξ
0
hG
k
|ξ
0
ihξ
0
|
ˆ
F |ξihξ |G
n
i. (3.19)
                                               92


   Исследуем структуру матрицы линейного эрмитова оператора Ĝ в
своем собственном представлении.
   Вновь ограничимся случаем дискретного спектра:
                                                         (3.10)
                        hGk | Ĝ |Gn i = Gn hGk |Gn i = Gn δkn .

В случае непрерывного спектра (n → F, k → F 0 ) в правой части полу-
чим δ-функцию δ(F − F 0 ). Таким образом, в своем собственном пред-
ставлении матрица линейного эрмитова оператора будет диагональ-
ной.
   Получим правило действия оператора F̂ на вектор |ai в G-
представлении.
   Пусть |bi = F̂ |ai. Домножим это соотношение слева на базисный
вектор hGn |:
                                                (3.11)   X
   hGn |bi = hGn | F̂ |ai = hGn | F̂ 1̂ |ai =                hGn | F̂ |Gm ihGm |ai       (3.17)
                                                         m

— обычное правило умножения матрицы на столбец:
                                                                                
              hG1 |bi           hG1 | F̂ |G1 i hG1 | F̂ |G2 i . . .        hG1 |ai
                                                               
          hG2 |bi = hG2 | F̂ |G1 i hG2 | F̂ |G2 i . . . hG2 |ai .
                                                               
             ..               ..             ..      ..        ..
              .                .              .          .      .

В случае непрерывного спектра имеем:
                          Z
                  hG |bi = dG0 hG| F̂ |G0 ihG0 |ai .                                     (3.18)

Это интегральное преобразование с ядром hG| F̂ |G0 i.
    Использованные ранее операторы в координатном представлении
также могут быть записаны в матричной форме: hr| r̂ |r 0 i = r δ(r − r 0 );
hr| p |r 0 i = δ(r − r 0 )(−i}∇r0 ) и т.д. При этом интегрирование (3.18) по
d3 r0 снимается δ-функцией.
    Правило пересчета матричного элемента из одного представления
в другое легко выводится из свойства полноты (3.11), например, для
перехода от ξ-представления к G-представлению оператора F̂ имеем:
                                             X
      hGk | F̂ |Gn i = hGk | 1̂F̂ 1̂ |Gn i =   hGk |ξ 0 ihξ 0 | F̂ |ξihξ |Gn i . (3.19)
                                                ξ ξ0

Страницы