Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

94
Таблица 3.1. Некоторые операторы в r- и p-представлениях
Оператор r-представление p-представление
Координата
ˆ
r r i}∇
p
Импульс p −i}∇
r
p
Момент импульса
ˆ
L −i}[r × ∇
r
] i}[∇
p
× p]
Кинетическая энергия
ˆ
T −
}
2
2m
∇
2
r
p
2
2m
Потенциальная энергия
ˆ
V V (r) V (i}∇
p
)
Переформулируем эту задачу для G-представления, т.е. спроециру-
ем уравнение (3.21) на базисные функции |ni ≡ Ψ
n
(ξ) оператора
ˆ
G.
Для этого разложим неизвестную функцию Ψ
F
(ξ) по базисному набо-
ру {Φ
n
(ξ)}:
Ψ
F
(ξ) =
X
n
0
c
n
0
Φ
n
0
(ξ), (3.22)
где коэффициенты {c
n
} подлежат определению. Теперь подставим
(3.22) в (3.21), умножим слева на Φ
∗
n
(ξ) и проинтегрируем по ξ. В
результате получается система линейных однородных алгебраических
уравнений для F и набора коэффициентов {c
n
}:
X
m
0
F
nn
0
c
n
0
= F c
n
. (3.23)
Ее можно получить из (3.21) и с помощью формализма Дирака на ос-
нове соотношения полноты (3.11) и переобозначений F
nn
0
≡ hn|
ˆ
F |n
0
i,
c
n
≡ hn|F i.
Дифференциальное уравнение (3.21) и матричное уравнение (3.23)
эквивалентны. В результате их решения получается один и тот же
спектр F . Оператору
ˆ
F теперь сопоставляется его матрица F
nn
0
в G-
представлении, а функции Ψ
F
(ξ) — упорядоченный набор коэффици-
ентов {c
n
}, т.е. G-представление абстрактного вектора Ψ
F
гильбертова
пространства.
Условием нетривиальной разрешимости системы (3.23) относитель-
но {c
n
} является обращение в нуль ее детерминанта, т.е. уравнение для
собственных значений F становится алгебраическим:
kF
nn
0
− F δ
nn
0
k = 0. (3.24)
                                    94



       Таблица 3.1. Некоторые операторы в r- и p-представлениях
 Оператор                        r-представление   p-представление
 Координата r̂                           r              i}∇p
 Импульс p                           −i}∇r               p
 Момент импульса L̂                −i}[r × ∇r ]      i}[∇p × p]
                                       }2 2               p2
 Кинетическая энергия T̂            −     ∇
                                      2m r               2m
 Потенциальная энергия V̂             V (r)           V (i}∇p )


Переформулируем эту задачу для G-представления, т.е. спроециру-
ем уравнение (3.21) на базисные функции |ni ≡ Ψn (ξ) оператора Ĝ.
Для этого разложим неизвестную функцию ΨF (ξ) по базисному набо-
ру {Φn (ξ)}:                    X
                       ΨF (ξ) =   cn0 Φn0 (ξ),              (3.22)
                                    n0

где коэффициенты {cn } подлежат определению. Теперь подставим
(3.22) в (3.21), умножим слева на Φ∗n (ξ) и проинтегрируем по ξ. В
результате получается система линейных однородных алгебраических
уравнений для F и набора коэффициентов {cn }:
                         X
                            Fnn0 cn0 = F cn .                (3.23)
                            m0

Ее можно получить из (3.21) и с помощью формализма Дирака на ос-
нове соотношения полноты (3.11) и переобозначений Fnn0 ≡ hn| F̂ |n0 i,
cn ≡ hn |F i.
   Дифференциальное уравнение (3.21) и матричное уравнение (3.23)
эквивалентны. В результате их решения получается один и тот же
спектр F . Оператору F̂ теперь сопоставляется его матрица Fnn0 в G-
представлении, а функции ΨF (ξ) — упорядоченный набор коэффици-
ентов {cn }, т.е. G-представление абстрактного вектора ΨF гильбертова
пространства.
   Условием нетривиальной разрешимости системы (3.23) относитель-
но {cn } является обращение в нуль ее детерминанта, т.е. уравнение для
собственных значений F становится алгебраическим:

                           kFnn0 − F δnn0 k = 0.                  (3.24)

Страницы