Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

96
3.5. Энергетическое и импульсное представления
уравнения Шредингера
Рассмотрим временн´ое уравнение Шредингера с некоторым гамиль-
тонианом
ˆ
H в координатном представлении:
i}
∂
∂t
Ψ(ξ, t) =
ˆ
HΨ(ξ, t). (3.26)
Если известен базис и спектр стационарного гамильтониана
ˆ
H
0
(дру-
гого, чем
ˆ
H, который может зависеть от времени):
ˆ
H
0
ϕ
n
(ξ) = E
n
ϕ
n
(ξ), (3.27)
то решение уравнения (3.26) можно искать в виде разложения по этому
базису с зависящими от времени коэффициентами c
n
0
(t):
Ψ(ξ, t) =
X
n
0
c
n
0
(t)ϕ
n
0
(ξ). (3.28)
Подставляя (3.28) в (3.26) и проецируя на ϕ
n
, получаем энергетическое
представление уравнения Шредингера (3.26) на базисе гамильтониана
ˆ
H
0
:
i}
dc
n
(t)
dt
=
X
n
0
H
nn
0
c
n
0
(t), (3.29)
где H
nn
0
≡ hϕ
n
|
ˆ
H |ϕ
n
0
i — матричный элемент гамильтониана уравне-
ния (3.26) по базису собственных функций гамильтониана уравнения
(3.27). Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка (3.29) эквивалентна уравнению Шредингера (3.26) — диффе-
ренциальному уравнению второго порядка в частных производных.
В импульсном представлении временн´ое уравнение Шредингера ста-
новится интегро-дифференциальным:
i}
dc
p
(t)
dt
=
Z
H
pp
0
c
p
0
(t) d
3
p
0
, (3.30)
где H
pp
0
≡ hp|
ˆ
H |p
0
i.
Энергетическое и импульсное представления стационарного уравне-
ния Шредингера
ˆ
HΨ(ξ) = EΨ(ξ)
получаются соответственно из (3.23) и (3.25) при помощи замен
ˆ
F →
ˆ
H,
F → E.
                                    96


3.5.   Энергетическое и импульсное представления
       уравнения Шредингера
   Рассмотрим временно́е уравнение Шредингера с некоторым гамиль-
тонианом Ĥ в координатном представлении:
                            ∂
                       i}      Ψ(ξ, t) = ĤΨ(ξ, t).              (3.26)
                            ∂t
Если известен базис и спектр стационарного гамильтониана Ĥ0 (дру-
гого, чем Ĥ, который может зависеть от времени):

                         Ĥ0 ϕn (ξ) = En ϕn (ξ),                 (3.27)

то решение уравнения (3.26) можно искать в виде разложения по этому
базису с зависящими от времени коэффициентами cn0 (t):
                                X
                      Ψ(ξ, t) =   cn0 (t)ϕn0 (ξ).             (3.28)
                                   n0

Подставляя (3.28) в (3.26) и проецируя на ϕn , получаем энергетическое
представление уравнения Шредингера (3.26) на базисе гамильтониана
Ĥ0 :
                          dcn (t) X
                       i}        =    Hnn0 cn0 (t),              (3.29)
                            dt      0   n

где Hnn0 ≡ hϕn | Ĥ |ϕn0 i — матричный элемент гамильтониана уравне-
ния (3.26) по базису собственных функций гамильтониана уравнения
(3.27). Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка (3.29) эквивалентна уравнению Шредингера (3.26) — диффе-
ренциальному уравнению второго порядка в частных производных.
    В импульсном представлении временно́е уравнение Шредингера ста-
новится интегро-дифференциальным:
                                   Z
                          dcp (t)
                      i}          = Hpp0 cp0 (t) d3 p0 ,       (3.30)
                            dt

где Hpp0 ≡ hp| Ĥ |p0 i.
   Энергетическое и импульсное представления стационарного уравне-
ния Шредингера
                         ĤΨ(ξ) = EΨ(ξ)
получаются соответственно из (3.23) и (3.25) при помощи замен F̂ → Ĥ,
F → E.

Страницы