Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

97
3.6. Матричная форма оператора производной по
времени величины F
Рассмотрим квантовую систему с гамильтонианом
ˆ
H. Как известно,
оператор производной по времени физической величины F , характери-
зующей эту систему, содержит частную производную оператора
ˆ
F по
времени и коммутатор
ˆ
F с
ˆ
H (см. (1.107)). В G-представлении (для
определенности — дискретном) соотношение (1.107) принимает вид:
dF
dt
nn
0
=
∂
∂t
F
nn
0
+
1
i}
(
ˆ
F
ˆ
H −
ˆ
H
ˆ
F )
nn
0
(3.16)
=
=
∂
∂t
F
nn
0
+
1
i}
X
n
00
(F
nn
00
H
n
00
n
0
− H
nn
00
F
n
00
n
0
),
где для матричного элемента оператора
ˆ
A введено обозначение A
nn
0
≡
hG
n
|
ˆ
A |G
n
0
i.
Если гамильтониан
ˆ
H квантовой системы является стационарным
(∂
ˆ
H/∂t = 0), то в энергетическом E
n
-представлении (в котором H
nn
0
=
E
n
δ
nn
0
, где E
n
— спектр оператора
ˆ
H) матричный элемент операто-
ра производной по времени физической величины F выражается через
матричный элемент оператора самой этой величины и его частную про-
изводную по t:
dF
dt
nn
0
=
∂
∂t
F
nn
0
+
1
i}
(E
n
0
− E
n
)F
nn
0
. (3.31)
Здесь A
nn
0
≡ hE
n
|
ˆ
A |E
n
0
i.
В качестве примера использования полученных результатов, запи-
шем соотношение (3.31) применительно к оператору координаты (т.е.
положим
ˆ
F = r и учтем обращение в нуль частной производной r по
времени):
dr
dt
nn
0
=
1
i}
(E
n
0
− E
n
)r
nn
0
.
Замечая, что оператор скорости
ˆ
v ≡
ˆ
dr
dt
связан с оператором импульса
соотношением (которое нетрудно получить из (1.107) с гамильтонианом
ˆ
H в виде (1.82))
ˆ
dr
dt
=
ˆ
p
m
,
                                            97


3.6.       Матричная форма оператора производной по
           времени величины F
   Рассмотрим квантовую систему с гамильтонианом Ĥ. Как известно,
оператор производной по времени физической величины F , характери-
зующей эту систему, содержит частную производную оператора F̂ по
времени и коммутатор F̂ с Ĥ (см. (1.107)). В G-представлении (для
определенности — дискретном) соотношение (1.107) принимает вид:
          
      dF             ∂         1                  (3.16)
                 =      Fnn0 + (F̂ Ĥ − Ĥ F̂ )nn0 =
      dt   nn0       ∂t       i}
                                 ∂           1 X
                              =     Fnn0 +         (Fnn00 Hn00 n0 − Hnn00 Fn00 n0 ),
                                 ∂t         i} 00
                                                  n


где для матричного элемента оператора Â введено обозначение Ann0 ≡
hGn | Â |Gn0 i.
    Если гамильтониан Ĥ квантовой системы является стационарным
(∂ Ĥ/∂t = 0), то в энергетическом En -представлении (в котором Hnn0 =
En δnn0 , где En — спектр оператора Ĥ) матричный элемент операто-
ра производной по времени физической величины F выражается через
матричный элемент оператора самой этой величины и его частную про-
изводную по t:
                      
                   dF        ∂          1
                           =    Fnn0 + (En0 − En )Fnn0 .         (3.31)
                    dt nn0   ∂t        i}

Здесь Ann0 ≡ hEn | Â |En0 i.
   В качестве примера использования полученных результатов, запи-
шем соотношение (3.31) применительно к оператору координаты (т.е.
положим F̂ = r и учтем обращение в нуль частной производной r по
времени):               
                        dr        1
                               =    (En0 − En )r nn0 .
                        dt nn0   i}
                                  drˆ
Замечая, что оператор скорости v̂ ≡   связан с оператором импульса
                                   dt
соотношением (которое нетрудно получить из (1.107) с гамильтонианом
Ĥ в виде (1.82))
                              ˆ
                             dr    p̂
                                = ,
                             dt   m

Страницы