Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

93
Для перехода от координатного представления диагонального опе-
ратора
ˆ
F к G-представлению на основании (3.19) получаем следующую
формулу:
hG
k
|
ˆ
F |G
n
i =
Z
Φ
∗
G
k
(r)
ˆ
F Φ
G
n
(r) d
3
r, (3.20)
где Φ
G
n
(r) ≡ hr |G
n
i.
В качестве иллюстрации получим импульсное представление опера-
тора координаты.
На основе (3.18) получим вначале матричный элемент оператора
координаты в импульсном представлении, исходя из его вида в коорди-
натном представлении:
r
pp
0
= hp|
ˆ
r |p
0
i =
1
(2π})
3
Z
exp
−
i
}
pr
r exp
i
}
p
0
r
d
3
r =
=
1
(2π})
3
(−i}∇
p
0
)
Z
exp
i
}
(p
0
− p)r
d
3
r
| {z }
(2π})
3
δ(p
0
−p)
= −i}∇
p
0
δ(p
0
− p).
Здесь ясно видна диагональная структура матрицы координаты в им-
пульсном представлении.
В импульсном представлении оператор координаты действует на
функцию в соответствии с правилом (3.18), т.е. через интегральное пре-
образование с ядром r
pp
0
:
b(p) =
Z
r
pp
0
a(p
0
) d
3
p
0
= −i}
Z
∇
p
0
δ(p
0
− p) a(p
0
) d
3
p
0
=
= i}∇
p
0
a(p
0
)|
p
0
=p
= i}∇
p
a(p) =
ˆ
ra(p).
Таким образом,
ˆ
r = i}∇
p
, что по структуре аналогично оператору им-
пульса в координатном представлении, за исключением знака.
Ниже приведена таблица 3.1 для некоторых операторов в коорди-
натном и импульсном представлениях.
3.4. Теория представлений и наблюдаемые величи-
ны. Матричная механика
Рассмотрим уравнение для собственных функций и собственных
значений оператора
ˆ
F в координатном представлении:
ˆ
F Ψ
F
(ξ) = F Ψ
F
(ξ). (3.21)
                                     93


   Для перехода от координатного представления диагонального опе-
ратора F̂ к G-представлению на основании (3.19) получаем следующую
формулу:
                                 Z
                 hGk | F̂ |Gn i = Φ∗Gk (r)F̂ ΦGn (r) d3 r,    (3.20)

где ΦGn (r) ≡ hr |Gn i.
   В качестве иллюстрации получим импульсное представление опера-
тора координаты.
   На основе (3.18) получим вначале матричный элемент оператора
координаты в импульсном представлении, исходя из его вида в коорди-
натном представлении:
                                  Z                       
                   0       1                 i          i 0
  r pp0 = hp| r̂ |p i =        3
                                     exp − pr r exp p r d3 r =
                        (2π})                }          }
                                 Z                 
               1                          i 0
         =         3
                     (−i}∇  p 0)    exp     (p − p)r d3 r = −i}∇p0 δ(p0 − p).
           (2π})                          }
                                 |            {z        }
                                  (2π})3 δ(p0 −p)

Здесь ясно видна диагональная структура матрицы координаты в им-
пульсном представлении.
   В импульсном представлении оператор координаты действует на
функцию в соответствии с правилом (3.18), т.е. через интегральное пре-
образование с ядром r pp0 :
         Z                    Z
  b(p) = r pp0 a(p ) d p = −i} ∇p0 δ(p0 − p) a(p0 ) d3 p0 =
                   0  3 0


                               = i}∇p0 a(p0 )|p0 =p = i}∇p a(p) = r̂a(p).
Таким образом, r̂ = i}∇p , что по структуре аналогично оператору им-
пульса в координатном представлении, за исключением знака.
   Ниже приведена таблица 3.1 для некоторых операторов в коорди-
натном и импульсном представлениях.

3.4.    Теория представлений и наблюдаемые величи-
        ны. Матричная механика
   Рассмотрим уравнение для собственных функций и собственных
значений оператора F̂ в координатном представлении:
                            F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ).                     (3.21)

Страницы