Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

90
(«кет» или «бра») вектор:
ˆ
F |ci = |biha|ci; hc|
ˆ
F = hc|biha|.
Для полной ортонормированной системы векторов выполняется
условие полноты:
X
n
|G
n
ihG
n
| =
ˆ
1, (3.11)
где
ˆ
1 — единичный оператор. Для базиса, соответствующего непрерыв-
ному спектру, суммирование в (3.11) заменяется интегрированием.
Соотношение (3.11) чрезвычайно удобно для разложения произ-
вольного вектора |ai по базису некоторого оператора
ˆ
G:
|ai =
ˆ
1 |ai
(3.11)
=
X
n
|G
n
ihG
n
|ai =
X
n
c(G
n
) |G
n
i. (3.12)
Оператор
ˆ
P
n
= |G
n
ihG
n
| в (3.12) называется проекционным, т.к. он
позволяет получить «проекцию» произвольного вектора |ai на вектор
|G
n
i и, в частности, коэффициенты разложения вектора |ai по базису
оператора
ˆ
G: c(G
n
) = hG
n
|ai.
Пусть базис оператора
ˆ
G задается множеством векторов |G
n
i. То-
гда упорядоченный набор коэффициентов разложения некоторого век-
тора |ai по базису оператора
ˆ
G (см. (3.12)) принято называть G-
представлением состояния |ai. Для него уже имеется дираковское обо-
значение hG
n
|ai. Символ в «кет»-векторе называется индексом состо-
яния, в «бра»-векторе — индексом представления. Другими словами,
G-представление состояния |ai представляет собой множество всех его
проекций на состояния с определенными значениями величины G. Оно
дает «явный» вид вектора |ai, удобный для различных вычислений.
Данное утверждение поясняет смысл обозначения (3.9): значение вол-
новой функции Ψ
a
в точке с координатой r равно проекции состояния
«a» на состояние с координатой r.
Пользуясь дираковской техникой, легко получаем правило пе-
рехода от F -представления волновой функции состояния |ai к G-
представлению. Для простоты спектр операторов
ˆ
F и
ˆ
G предполагаем
дискретным. На основании (3.11) имеем:
hG
m
|ai = hG
m
|
ˆ
1 |ai = hG
m
|
X
n
|F
n
ihF
n
|ai =
X
n
hF
n
|G
m
i
∗
hF
n
|ai.
(3.13)
                                         90


(«кет» или «бра») вектор:

                  F̂ |ci = |biha |ci ;        hc| F̂ = hc |biha| .

   Для полной ортонормированной системы векторов выполняется
условие полноты:      X
                         |Gn ihGn | = 1̂,              (3.11)
                                n

где 1̂ — единичный оператор. Для базиса, соответствующего непрерыв-
ному спектру, суммирование в (3.11) заменяется интегрированием.
   Соотношение (3.11) чрезвычайно удобно для разложения произ-
вольного вектора |ai по базису некоторого оператора Ĝ:
                       (3.11)   X                     X
            |ai = 1̂ |ai =          |Gn ihGn |ai =         c(Gn ) |Gn i .   (3.12)
                                n                      n


Оператор P̂n = |Gn ihGn | в (3.12) называется проекционным, т.к. он
позволяет получить «проекцию» произвольного вектора |ai на вектор
|Gn i и, в частности, коэффициенты разложения вектора |ai по базису
оператора Ĝ: c(Gn ) = hGn |ai.
   Пусть базис оператора Ĝ задается множеством векторов |Gn i. То-
гда упорядоченный набор коэффициентов разложения некоторого век-
тора |ai по базису оператора Ĝ (см. (3.12)) принято называть G-
представлением состояния |ai. Для него уже имеется дираковское обо-
значение hGn |ai. Символ в «кет»-векторе называется индексом состо-
яния, в «бра»-векторе — индексом представления. Другими словами,
G-представление состояния |ai представляет собой множество всех его
проекций на состояния с определенными значениями величины G. Оно
дает «явный» вид вектора |ai, удобный для различных вычислений.
Данное утверждение поясняет смысл обозначения (3.9): значение вол-
новой функции Ψa в точке с координатой r равно проекции состояния
«a» на состояние с координатой r.
   Пользуясь дираковской техникой, легко получаем правило пе-
рехода от F -представления волновой функции состояния |ai к G-
представлению. Для простоты спектр операторов F̂ и Ĝ предполагаем
дискретным. На основании (3.11) имеем:
                                  X                X
   hGm |ai = hGm | 1̂ |ai = hGm |   |Fn ihFn |ai =   hFn |Gm i∗ hFn |ai .
                                     n                     n
                                                                            (3.13)

Страницы