Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2.1. Теория возмущений для невырожденного уров-
ня
Пусть значения энергий E
(0)
l
и волновые функции Ψ
(0)
l
«невозму-
щенной» системы с гамильтонианом
ˆ
H
0
известны:
ˆ
H
0
Ψ
(0)
l
= E
(0)
l
Ψ
(0)
l
. (2.1)
Для решения задачи целесообразно переписать исходное стационар-
ное уравнение Шредингера
(
ˆ
H
0
+
ˆ
V )Ψ = EΨ (2.2)
в энергетическом представлении, выбирая в качестве базиса решение
«невозмущенной» задачи (2.1). Разлагая искомую функцию Ψ по из-
вестному базису гамильтониана
ˆ
H
0
:
Ψ =
X
n
a
n
|{z}
?
Ψ
(0)
n
, (2.3)
подставляя (2.3) в (2.2) с учетом (2.1), умножая на Ψ
(0)∗
m
(ξ) и инте-
грируя по ξ, вместо дифференциального уравнения (2.2) получаем эк-
вивалентную ему бесконечную систему алгебраических уравнений для
коэффициентов {a
n
} (см. также Ч. 1, п. 3.4):
[ E
|{z}
?
−E
(0)
m
] a
m
|{z}
?
=
X
n
V
mn
a
n
|{z}
?
, (2.4)
где
V
mn
=
Z
Ψ
(0)∗
m
(ξ)
ˆ
V (ξ)Ψ
(0)
n
(ξ) dξ (2.5)
— матричный элемент оператора возмущения
ˆ
V . В дираковских обо-
значениях
V
mn
= hm|
ˆ
V |ni; a
n
= hn|Ψi; |ni ≡
Ψ
(0)
n
E
. (2.6)
Отыскание энергии E и коэффициентов a
n
в общем случае сводится
к диагонализации бесконечной матрицы системы (2.4). Однако в случае
малого
ˆ
V спектр E
l
и собственные функции Ψ
l
оператора
ˆ
H мало отли-
чаются от E
(0)
l
и Ψ
(0)
l
, что позволяет развить достаточно эффективный
приближенный метод решения (2.4). Для этого выделим безразмерный
24
2.1.   Теория возмущений для невырожденного уров-
       ня
                               (0)                                 (0)
  Пусть значения энергий El и волновые функции Ψl                        «невозму-
щенной» системы с гамильтонианом Ĥ0 известны:
                               (0)                (0)   (0)
                          Ĥ0 Ψl       = E l Ψl .                            (2.1)

   Для решения задачи целесообразно переписать исходное стационар-
ное уравнение Шредингера

                          (Ĥ0 + V̂ )Ψ = EΨ                                  (2.2)

в энергетическом представлении, выбирая в качестве базиса решение
«невозмущенной» задачи (2.1). Разлагая искомую функцию Ψ по из-
вестному базису гамильтониана Ĥ0 :
                             X
                         Ψ=        an Ψ(0)
                                       n ,                   (2.3)
                                 |{z}
                                   n
                                              ?

                                                                  (0)∗
подставляя (2.3) в (2.2) с учетом (2.1), умножая на Ψm (ξ) и инте-
грируя по ξ, вместо дифференциального уравнения (2.2) получаем эк-
вивалентную ему бесконечную систему алгебраических уравнений для
коэффициентов {an } (см. также Ч. 1, п. 3.4):
                                       X
                            (0)
                     E −Em
                   [|{z}        ] am =   Vmn an ,             (2.4)
                                 |{z}         |{z}
                     ?                              n
                                     ?                        ?

где                       Z
                  Vmn =       Ψ(0)∗         (0)
                               m (ξ) V̂ (ξ)Ψn (ξ) dξ                         (2.5)

— матричный элемент оператора возмущения V̂ . В дираковских обо-
значениях
                                                      E
                                                  (0)
          Vmn = hm| V̂ |ni ; an = hn |Ψi ; |ni ≡ Ψn .      (2.6)

   Отыскание энергии E и коэффициентов an в общем случае сводится
к диагонализации бесконечной матрицы системы (2.4). Однако в случае
малого V̂ спектр El и собственные функции Ψl оператора Ĥ мало отли-
            (0)   (0)
чаются от El и Ψl , что позволяет развить достаточно эффективный
приближенный метод решения (2.4). Для этого выделим безразмерный




                                         24

Страницы