Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2. При m 6= l получаем вторую систему, аналогичную (2.12):
a
(1)
m
[E
(0)
l
− E
(0)
m
] = W
ml
;
E
(1)
l
a
(1)
m
+ [E
(0)
l
− E
(0)
m
]a
(2)
m
=
X
n
W
mn
a
(1)
n
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. (2.13)
Каждое k-е уравнение систем (2.12) и (2.13) соответствует слагаемым
порядка λ
k
в (2.4).
Из (2.8), (2.12) следует, что в первом порядке теории возмущений
(т.е. учитывая лишь члены порядка λ) энергия квантовой системы вы-
ражается формулой
E = E
(0)
l
+ λ E
(1)
l
|{z}
W
ll
(2.7)
= E
(0)
l
+ V
ll
. (2.14)
Таким образом, поправка к энергии изолированного уровня в первом
порядке теории возмущений равна среднему значению оператора воз-
мущения V в соответствующем невозмущенном состоянии:
∆E
(1)
l
= V
ll
=
Z
Ψ
(0)∗
l
(ξ)
ˆ
V Ψ
(0)
l
(ξ) dξ . (2.15)
Используя первое уравнение (2.13) и соотношение (2.3), находим
волновую функцию Ψ
l
в первом порядке по величине возмущения:
Ψ
l
= (1 + λ a
(1)
l
|{z}
?
)Ψ
(0)
l
+ λ
X
0
m
W
ml
E
(0)
l
− E
(0)
m
Ψ
(0)
m
. (2.16)
Штрих над знаком суммы с энергетическим знаменателем означает от-
сутствие слагаемого с m = l. Это так называемая спектральная сумма.
Легко видеть ее ортогональность невозмущенному состоянию. Вели-
чина λ a
(1)
l
определяется из условия нормировки функции Ψ
l
. Функции
Ψ
(0)
l
предполагаются нормированными, поэтому из условия нормиров-
ки с точностью до λ
2
следует соотношение:
a
(1)
l
+ a
(1)∗
l
= 0.
Следовательно a
(1)
l
– чисто мнимое (то есть a
(1)
l
= iα
l
, так что 1+iλα
l
≈
e
iλα
l
) и, так как волновые функции определяются с точностью до фа-
зового множителя, можно положить a
(1)
l
= 0. Итак, в первом порядке
теории возмущений волновая функция определяется выражением:
Ψ
l
= Ψ
(0)
l
+
X
0
m
V
ml
E
(0)
l
− E
(0)
m
Ψ
(0)
m
. (2.17)
26
2. При m 6= l получаем вторую систему, аналогичную (2.12):
                                 (0)
                                                             
                         a(1)
                          m   [E l   − E (0)
                                         m   ] = W ml ;      
                                                             
                                                 X           
                                                             
                (1) (1)     (0)      (0) (2)             (1)
              El am + [El − Em ]am =                Wmn an ; .          (2.13)
                                                  n          
                                                             
                                                             
                                                             
              ..........................................
Каждое k-е уравнение систем (2.12) и (2.13) соответствует слагаемым
порядка λk в (2.4).
    Из (2.8), (2.12) следует, что в первом порядке теории возмущений
(т.е. учитывая лишь члены порядка λ) энергия квантовой системы вы-
ражается формулой
                           (0)           (1) (2.7)      (0)
                      E = El     + λ El   = El                + Vll .   (2.14)
                                     |{z}
                                        Wll

Таким образом, поправка к энергии изолированного уровня в первом
порядке теории возмущений равна среднему значению оператора воз-
мущения V в соответствующем невозмущенном состоянии:
                            Z
                   (1)          (0)∗     (0)
               ∆El = Vll = Ψl (ξ) V̂ Ψl (ξ) dξ .           (2.15)

   Используя первое уравнение (2.13) и соотношение (2.3), находим
волновую функцию Ψl в первом порядке по величине возмущения:
                        (1) (0)
                                  X0      Wml
           Ψl = (1 + λ al )Ψl + λ       (0)     (0)
                                                    Ψ(0)
                                                     m .    (2.16)
                       |{z}        m  E     − E m
                                        l
                           ?

Штрих над знаком суммы с энергетическим знаменателем означает от-
сутствие слагаемого с m = l. Это так называемая спектральная сумма.
Легко видеть ее ортогональность невозмущенному состоянию. Вели-
        (1)
чина λ al определяется из условия нормировки функции Ψl . Функции
  (0)
Ψl предполагаются нормированными, поэтому из условия нормиров-
ки с точностью до λ2 следует соотношение:
                                 (1)      (1)∗
                               al      + al      = 0.
                (1)                                      (1)
Следовательно al – чисто мнимое (то есть al = iαl , так что 1+iλαl ≈
eiλαl ) и, так как волновые функции определяются с точностью до фа-
                                       (1)
зового множителя, можно положить al = 0. Итак, в первом порядке
теории возмущений волновая функция определяется выражением:
                            (0)
                                X0      Vml
                     Ψl = Ψ l +      (0)    (0)
                                                Ψ(0)
                                                 m .           (2.17)
                                m El     − Em

                                         26

Страницы