Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Подставляя далее значение a
(1)
m
из первого уравнения (2.13) во вто-
рое уравнение (2.12), находим величину E
(2)
l
:
E
(2)
l
=
X
0
m
W
lm
W
ml
E
(0)
l
− E
(0)
m
.
Таким образом, во втором порядке теории возмущений энергия l-го
стационарного состояния выражается формулой:
E
l
= E
(0)
l
+ ∆E
(1)
l
+ ∆E
(2)
l
= E
(0)
l
+ V
ll
+
X
0
m
|V
lm
|
2
E
(0)
l
− E
(0)
m
. (2.18)
Из (2.18) следует, что поправка второго порядка к энергии ∆E
(2)
0
ос-
новного состояния всегда отрицательна (энергия E
(0)
0
наименьшая из
всех возможных).
Полученные формулы для поправок к энергиям и волновым функ-
циям легко переписать и в дираковских обозначениях:
∆E
(1)
l
= hl|
ˆ
V |li; (2.19)
∆E
(2)
l
=
X
0
m
hl|
ˆ
V |mihm|
ˆ
V |li
E
(0)
l
− E
(0)
m
; (2.20)
∆Ψ
(1)
l
E
=
X
0
m
|mihm|
ˆ
V |li
E
(0)
l
− E
(0)
m
. (2.21)
Формулы (2.19)–(2.21) иногда можно использовать и при наличии
вырождения начального состояния с энергией E
(0)
l
. Пусть невозмущен-
ное значение энергии E
(0)
l
вырождено с кратностью f, т. е.
ˆ
H
0
Ψ
(0)
lk
= E
(0)
l
Ψ
(0)
lk
,
где k = 1, . . . , f, а оператор возмущения в энергетическом представле-
нии диагонален по k, т. е.
hl
0
k
0
|V |nki = B
k,l
0
l
δ
k
0
k
. (2.22)
Физически это означает, что интеграл движения, обусловливающий вы-
рождение в невозмущенной задаче, после наложения возмущения по-
прежнему остается интегралом движения. В данном случае при k 6= k
0
,
l
0
= l числители спектральных сумм в (2.20), (2.21) вместе со знаме-
нателями обращаются в 0, т. е. появляется неопределенность
0
0
. Если
такие слагаемые положить равными нулю, то при выполнении усло-
вия (2.22) можно по-прежнему пользоваться теорией возмущений для
27
                                               (1)
   Подставляя далее значение am из первого уравнения (2.13) во вто-
                                        (2)
рое уравнение (2.12), находим величину El :

                                   (2)
                                             X0 Wlm Wml
                             El          =            (0)            (0)
                                                                           .
                                              m      El         −   Em
Таким образом, во втором порядке теории возмущений энергия l-го
стационарного состояния выражается формулой:

           (0)         (1)         (2)              (0)
                                                                          X0        |Vlm |2
   El =   El     +   ∆El     +   ∆El         =     El     + Vll +               (0)           (0)
                                                                                                    .   (2.18)
                                                                           m   El     − Em
                                                                                                        (2)
Из (2.18) следует, что поправка второго порядка к энергии ∆E0 ос-
                                                  (0)
новного состояния всегда отрицательна (энергия E0 наименьшая из
всех возможных).
   Полученные формулы для поправок к энергиям и волновым функ-
циям легко переписать и в дираковских обозначениях:
                                             (1)
                               ∆El = hl| V̂ |li ;                                                       (2.19)
                          (2)
                                  X0 hl| V̂ |mi hm| V̂ |li
                        ∆El =               (0)     (0)
                                                           ;                                            (2.20)
                                  m      E  l   − E m
                                 E X0 |mi hm| V̂ |li
                             (1)
                         ∆Ψl      =           (0)    (0)
                                                         .                                              (2.21)
                                     m     El − E m

   Формулы (2.19)–(2.21) иногда можно использовать и при наличии
                                            (0)
вырождения начального состояния с энергией El . Пусть невозмущен-
                      (0)
ное значение энергии El вырождено с кратностью f , т. е.
                                             (0)          (0)       (0)
                                    Ĥ0 Ψlk = El Ψlk ,

где k = 1, . . . , f , а оператор возмущения в энергетическом представле-
нии диагонален по k, т. е.

                                 hl0 k 0 | V |nki = Bk,l0 l δk0 k .                                     (2.22)

Физически это означает, что интеграл движения, обусловливающий вы-
рождение в невозмущенной задаче, после наложения возмущения по-
прежнему остается интегралом движения. В данном случае при k 6= k 0 ,
l0 = l числители спектральных сумм в (2.20), (2.21) вместе со знаме-
нателями обращаются в 0, т. е. появляется неопределенность 00 . Если
такие слагаемые положить равными нулю, то при выполнении усло-
вия (2.22) можно по-прежнему пользоваться теорией возмущений для


                                                    27

Страницы