Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

малый параметр λ в операторе
ˆ
V явно
1
:
ˆ
V = λ
ˆ
W , V
mn
= λW
mn
, (2.7)
и будем искать решения матричного уравнения Шредингера (2.4) в ви-
де разложения в ряд по степеням λ:
E
l
= E
(0)
l
+ λE
(1)
l
+ λ
2
E
(2)
l
+ . . . ; (2.8)
a
m
= a
(0)
m
+ λ a
(1)
m
+ λ
2
a
(2)
m
+ . . . . (2.9)
Сущность теории возмущений состоит в последовательном вычисле-
нии поправок {E
(k)
l
} и {a
(k)
m
} в разложениях (2.8) и (2.9) с использова-
нием решений уравнения Шредингера для невозмущенной системы.
Если состояние невозмущенной системы с энергией E
(0)
l
невырож-
денное, то и состояние с энергией E
l
также будет невырожденным, при-
чем
lim
λ→0
Ψ = Ψ
(0)
l
.
Поэтому в соответствии с (2.3) в разложении (2.9) необходимо поло-
жить
a
(0)
m
= δ
ml
. (2.10)
Дальнейший ход решения задачи состоит в подстановке (2.8)–(2.10)
в систему (2.4)
[E
(0)
l
− E
(0)
m
+ λE
(1)
l
+ λ
2
E
(2)
l
+ . . .][δ
ml
+ λ a
(1)
m
+ λ
2
a
(2)
m
+ . . .] =
= λ
X
n
W
mn
[δ
nl
+ λ a
(1)
n
+ λ
2
a
(2)
n
+ . . .] (2.11)
и приравнивании слагаемых с одинаковыми степенями λ в правой и
левой части (2.11). Следует раздельно рассмотреть случаи m = l и
m 6= l.
1. При m = l получаем первую систему связанных уравнений для
{E
(k)
l
} и {a
(k)
n
}:
E
(1)
l
= W
ll
;
E
(2)
l
+ E
(1)
l
a
(1)
l
=
X
n
W
ln
a
(1)
n
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. (2.12)
1
Явный вид этого параметра зависит от конкретной задачи. Пусть, например,
ˆ
V = −eEx, где e — заряд электрона, E — напряженность внешнего электрического
поля, действующего на систему с гамильтонианом
ˆ
H
0
. Вводя боровский радиус a
0
и атомную единицу напряженности электрического поля E
0
= |e|/a
2
0
≈ 5, 1 × 10
9
В/см,
ˆ
V можно переписать в виде:
ˆ
V =
E
E
0
x
a
0
e
2
a
0
; в случае слабого поля E (то есть
E E
0
) величина λ ≡ E/E
0
1 может рассматриваться как малый параметр.
25
малый параметр λ в операторе V̂ явно1 :
                            V̂ = λŴ ,         Vmn = λWmn ,                 (2.7)
и будем искать решения матричного уравнения Шредингера (2.4) в ви-
де разложения в ряд по степеням λ:
                                 (0)         (1)          (2)
                      El = E l         + λEl       + λ2 E l     + ...;      (2.8)
                      am = a(0)     (1)  2 (2)
                            m + λ a m + λ am + . . . .                      (2.9)
Сущность теории возмущений состоит в последовательном вычисле-
                  (k)     (k)
нии поправок {El } и {am } в разложениях (2.8) и (2.9) с использова-
нием решений уравнения Шредингера для невозмущенной системы.
                                                        (0)
   Если состояние невозмущенной системы с энергией El невырож-
денное, то и состояние с энергией El также будет невырожденным, при-
чем
                                        (0)
                              lim Ψ = Ψl .
                                       λ→0
Поэтому в соответствии с (2.3) в разложении (2.9) необходимо поло-
жить
                            a(0)
                             m = δml .                       (2.10)
   Дальнейший ход решения задачи состоит в подстановке (2.8)–(2.10)
в систему (2.4)
     (0)      (0)     (1)          (2)
  [El      − Em   + λEl     + λ2 E l+ . . .][δml + λ a(1)  2 (2)
                                                      m + λ am + . . .] =
                                   X
                                =λ   Wmn [δnl + λ a(1)      2 (2)
                                                       n + λ an + . . .] (2.11)
                                         n

и приравнивании слагаемых с одинаковыми степенями λ в правой и
левой части (2.11). Следует раздельно рассмотреть случаи m = l и
m 6= l.
1. При m = l получаем первую систему связанных уравнений для
   (k)    (k)
{El } и {an }:
                                 (1)
                                                   
                               El = Wll ;          
                                                   
                                      X            
                                                   
                      (2)    (1) (1)          (1)
                   El + E l al =         Wln an ; .        (2.12)
                                       n           
                                                   
                                                   
                                                   
                    ..............................
  1 Явный  вид этого параметра зависит от конкретной задачи. Пусть, например,
V̂ = −eEx, где e — заряд электрона, E — напряженность внешнего электрического
поля, действующего на систему с гамильтонианом Ĥ0 . Вводя боровский радиус a0
и атомную единицу напряженности электрического поля E0 = |e|/a20 ≈ 5, 1 × 109
                                                      2
В/см, V̂ можно переписать в виде: V̂ = EE ax ae ; в случае слабого поля E (то есть
                                         0 0 0
E  E0 ) величина λ ≡ E/E0  1 может рассматриваться как малый параметр.


                                             25

Страницы