Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Теория возмущений при наличии двух близких
уровней
Прежде чем развить метод теории возмущений при наличии вы-
рождения, рассмотрим частный случай предыдущего формализма —
случай двух близких уровней. Он позволяет исследовать также и осо-
бенности решения задачи при наличии двукратного вырождения невоз-
мущенного значения энергии E
(0)
l
.
Из формул (2.20), (2.21) следует, что если среди собственных зна-
чений гамильтониана
ˆ
H
0
есть одно или несколько близких к E
(0)
l
(на-
столько, что для них перестает выполняться условие (2.23)), то поправ-
ки к волновой функции и энергии l-го уровня будут велики из-за ма-
лости энергетических знаменателей, и пользоваться этими формулами
нельзя. Если, однако, число собственных значений
ˆ
H
0
, близких к E
(0)
l
,
невелико, то можно изменить метод вычислений так, чтобы исключить
появление больших поправок. Покажем это на примере двух близких
уровней.
Пусть оператор
ˆ
H
0
имеет два близких собственных значения E
(0)
1
и
E
(0)
2
, которым соответствуют собственные функции Ψ
(0)
1
и Ψ
(0)
2
, а все
остальные собственные значения расположены далеко от них. При вы-
числении поправки к волновой функции по формуле (2.20) мы убе-
димся, что из-за малого знаменателя E
(0)
1
− E
(0)
2
вклад функции Ψ
(0)
2
будет велик. Поэтому целесообразно уже в нулевом приближении ис-
кать решение в виде линейной комбинации невозмущенных волновых
функций, соответствующих близким энергиям:
Ψ = aΨ
(0)
1
+ bΨ
(0)
2
, (2.24)
т. е. ограничиться в энергетическом представлении только вкладом со-
стояний |1i и |2i. Стационарное уравнение Шредингера в таком упро-
щенном представлении принимает вид системы двух алгебраических
уравнений:
(H
11
− E)a + H
12
b = 0;
H
21
a + (H
22
− E)b = 0,
(2.25)
где
H
mn
= E
(0)
m
δ
mn
+ hm|
ˆ
V |ni, m, n = 1, 2. (2.26)
Из условия нетривиальной разрешимости системы (2.25) находим два
значения энергии:
E
1,2
=
1
2
(H
11
+ H
22
) ±
1
2
p
(H
11
+ H
22
)
2
+ 4|H
12
|
2
, (2.27)
29
2.2.   Теория возмущений при наличии двух близких
       уровней
    Прежде чем развить метод теории возмущений при наличии вы-
рождения, рассмотрим частный случай предыдущего формализма —
случай двух близких уровней. Он позволяет исследовать также и осо-
бенности решения задачи при наличии двукратного вырождения невоз-
                                (0)
мущенного значения энергии El .
    Из формул (2.20), (2.21) следует, что если среди собственных зна-
                                                                (0)
чений гамильтониана Ĥ0 есть одно или несколько близких к El (на-
столько, что для них перестает выполняться условие (2.23)), то поправ-
ки к волновой функции и энергии l-го уровня будут велики из-за ма-
лости энергетических знаменателей, и пользоваться этими формулами
                                                                      (0)
нельзя. Если, однако, число собственных значений Ĥ0 , близких к El ,
невелико, то можно изменить метод вычислений так, чтобы исключить
появление больших поправок. Покажем это на примере двух близких
уровней.
                                                                    (0)
    Пусть оператор Ĥ0 имеет два близких собственных значения E1 и
  (0)                                                 (0)    (0)
E2 , которым соответствуют собственные функции Ψ1 и Ψ2 , а все
остальные собственные значения расположены далеко от них. При вы-
числении поправки к волновой функции по формуле (2.20) мы убе-
                                        (0)    (0)                     (0)
димся, что из-за малого знаменателя E1 − E2 вклад функции Ψ2
будет велик. Поэтому целесообразно уже в нулевом приближении ис-
кать решение в виде линейной комбинации невозмущенных волновых
функций, соответствующих близким энергиям:
                                     (0)     (0)
                             Ψ = aΨ1 + bΨ2 ,                        (2.24)

т. е. ограничиться в энергетическом представлении только вкладом со-
стояний |1i и |2i. Стационарное уравнение Шредингера в таком упро-
щенном представлении принимает вид системы двух алгебраических
уравнений:
                          (H11 − E)a + H12 b = 0;
                                                              (2.25)
                          H21 a + (H22 − E)b = 0,
где
                        (0)
              Hmn = Em      δmn + hm| V̂ |ni ,  m, n = 1, 2.  (2.26)
Из условия нетривиальной разрешимости системы (2.25) находим два
значения энергии:
                 1                1p
        E1,2 =     (H11 + H22 ) ±    (H11 + H22 )2 + 4|H12 |2 ,     (2.27)
                 2                2


                                     29

Страницы