Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

учитываются слагаемые, которые отбрасываются в более упрощенной
задаче.
Из уравнений (2.25) можно найти отношение коэффициентов a и b,
определяющих волновую функцию (2.24):
a
b
1
= ctg
β
2
;
a
b
2
= −tg
β
2
,
где
β = arctg
2H
12
H
11
− H
22
. (2.31)
Таким образом, нормированные волновые функции состояний, соответ-
ствующих энергиям E
1
и E
2
, будут иметь вид:
Ψ
1
= Ψ
(0)
1
cos
β
2
+ Ψ
(0)
2
sin
β
2
;
Ψ
2
= −Ψ
(0)
1
sin
β
2
+ Ψ
(0)
2
cos
β
2
.
(2.32)
Если выполняется условие (2.28), то из (2.31) следует, что β ≈ 0 и
Ψ
1
≈ Ψ
(0)
1
, Ψ
2
≈ Ψ
(0)
2
, т. е. при наличии возмущения одно из невоз-
мущенных состояний будет давать доминирующий вклад (другими
словами, уровни E
(0)
1
и E
(0)
2
фактически будут «далекими»). Наоборот,
если выполняется условие (2.29), то β = π/2, поэтому Ψ
(0)
1
и Ψ
(0)
2
высту-
пают в (2.32) с равными долями (это и есть случай «истинно близких»
уровней в узком смысле слова).
Если теперь для отыскания поправок к энергии E
1
(или E
2
) и вол-
новой функции Ψ
1
(или Ψ
2
) использовать найденные в нулевом при-
ближении уровни энергии
E
1
, E
2
, E
(0)
3
, E
(0)
4
и волновые функции
Ψ
1
, Ψ
2
, Ψ
(0)
3
, Ψ
(0)
4
,
то в энергетических знаменателях спектральных сумм (2.20), (2.21) не
будет встречаться малая разность E
1
− E
2
, так как числитель соот-
ветствующего слагаемого hΨ
1
|
ˆ
H |Ψ
2
i равен нулю в силу того, что обе
функции Ψ
1
и Ψ
2
являются решениями стационарного уравнения Шре-
дингера с полным гамильтонианом (2.1). Следовательно, определение
поправок более высокого порядка можно далее вести обычным методом
теории возмущений для невырожденных «далеких» уровней.
31
учитываются слагаемые, которые отбрасываются в более упрощенной
задаче.
   Из уравнений (2.25) можно найти отношение коэффициентов a и b,
определяющих волновую функцию (2.24):
                  a            β               a                β
                            = ctg ;                        = − tg     ,
                    b   1        2                 b   2            2
где
                                              2H12
                             β = arctg                .                   (2.31)
                                            H11 − H22
Таким образом, нормированные волновые функции состояний, соответ-
ствующих энергиям E1 и E2 , будут иметь вид:
                                β  (0)(0)   β
                     Ψ1 = Ψ1 cos   + Ψ2 sin ;
                                2           2                             (2.32)
                            (0)   β     (0)   β
                     Ψ2 = −Ψ1 sin + Ψ2 cos .
                                  2           2
Если выполняется условие (2.28), то из (2.31) следует, что β ≈ 0 и
        (0)          (0)
Ψ1 ≈ Ψ1 , Ψ2 ≈ Ψ2 , т. е. при наличии возмущения одно из невоз-
мущенных состояний будет давать доминирующий вклад (другими
                   (0)   (0)
словами, уровни E1 и E2 фактически будут «далекими»). Наоборот,
                                                      (0)  (0)
если выполняется условие (2.29), то β = π/2, поэтому Ψ1 и Ψ2 высту-
пают в (2.32) с равными долями (это и есть случай «истинно близких»
уровней в узком смысле слова).
   Если теперь для отыскания поправок к энергии E1 (или E2 ) и вол-
новой функции Ψ1 (или Ψ2 ) использовать найденные в нулевом при-
ближении уровни энергии
                                                 (0)        (0)
                            E1 ,     E2 ,    E3 ,          E4

и волновые функции
                                                 (0)        (0)
                        Ψ1 ,        Ψ2 ,    Ψ3 ,           Ψ4 ,

то в энергетических знаменателях спектральных сумм (2.20), (2.21) не
будет встречаться малая разность E1 − E2 , так как числитель соот-
ветствующего слагаемого hΨ1 | Ĥ |Ψ2 i равен нулю в силу того, что обе
функции Ψ1 и Ψ2 являются решениями стационарного уравнения Шре-
дингера с полным гамильтонианом (2.1). Следовательно, определение
поправок более высокого порядка можно далее вести обычным методом
теории возмущений для невырожденных «далеких» уровней.


                                            31

Страницы