Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Теория возмущений при наличии вырождения
Результаты предыдущего параграфа остаются справедливыми и
при совпадении энергии двух уровней, т. е. при наличии двукратно-
го вырождения (E
(0)
1
= E
(0)
2
). Легко обобщить эти результаты и на
случай f-кратного вырождения уровня E
(0)
l
. Соответствующие невоз-
мущенные волновые функции теперь нужно снабдить дополнительным
индексом k = 1, 2, . . . , f:
Ψ
(0)
l
→ Ψ
(0)
lk
.
Рассмотрим теперь случай, когда условие (2.22) не выполняется.
Тогда необходимо отказаться от (2.10) и в качестве функции нулевого
приближения взять линейную комбинацию
Ψ
l
=
f
X
k=1
a
k
Ψ
(0)
lk
. (2.33)
Другими словами, воспользуемся «редуцированным» энергетическим
представлением, ограничившись лишь невозмущенными вырожденны-
ми состояниями, относящимися к одному и тому же уровню E
(0)
l
. В
этом представлении после подстановки (2.33), умножения на Ψ
(0)∗
lm
и
интегрирования по ξ уравнение Шредингера с гамильтонианом (2.1)
превращается в систему f линейных однородных алгебраических урав-
нений относительно {a
k
}:
f
X
k=1
(H
mk
− E
l
δ
mk
)a
k
= 0, (2.34)
где m = 1, . . . , f ;
H
mk
= hlm|
ˆ
H |lki;
E
l
— подлежащее определению «возмущенное» значение энергии.
Условием нетривиальной разрешимости системы (2.34) является об-
ращение в нуль ее детерминанта:
det kH
mk
− E
l
δ
mk
k = 0. (2.35)
Раскрывая определитель в левой части (2.35), получим уравнение сте-
пени f относительно E
l
(оно называется вековым, или секулярным
3
).
Ввиду эрмитовости матрицы H
mk
это уравнение имеет f вещественных
корней. Если все корни различны, то f-кратно вырожденный уровень
3
Термин заимствован из небесной механики.
32
2.3.      Теория возмущений при наличии вырождения
   Результаты предыдущего параграфа остаются справедливыми и
при совпадении энергии двух уровней, т. е. при наличии двукратно-
                     (0)       (0)
го вырождения (E1 = E2 ). Легко обобщить эти результаты и на
                                             (0)
случай f -кратного вырождения уровня El . Соответствующие невоз-
мущенные волновые функции теперь нужно снабдить дополнительным
индексом k = 1, 2, . . . , f :
                                   (0)  (0)
                                  Ψl → Ψlk .
   Рассмотрим теперь случай, когда условие (2.22) не выполняется.
Тогда необходимо отказаться от (2.10) и в качестве функции нулевого
приближения взять линейную комбинацию
                                          f
                                          X         (0)
                                   Ψl =         ak Ψlk .     (2.33)
                                          k=1

Другими словами, воспользуемся «редуцированным» энергетическим
представлением, ограничившись лишь невозмущенными вырожденны-
                                                            (0)
ми состояниями, относящимися к одному и тому же уровню El . В
                                                            (0)∗
этом представлении после подстановки (2.33), умножения на Ψlm и
интегрирования по ξ уравнение Шредингера с гамильтонианом (2.1)
превращается в систему f линейных однородных алгебраических урав-
нений относительно {ak }:
                            f
                            X
                                  (Hmk − El δmk )ak = 0,     (2.34)
                            k=1

где m = 1, . . . , f ;
                               Hmk = hlm| Ĥ |lki ;
El — подлежащее определению «возмущенное» значение энергии.
   Условием нетривиальной разрешимости системы (2.34) является об-
ращение в нуль ее детерминанта:

                            det kHmk − El δmk k = 0.         (2.35)

Раскрывая определитель в левой части (2.35), получим уравнение сте-
пени f относительно El (оно называется вековым, или секулярным 3 ).
Ввиду эрмитовости матрицы Hmk это уравнение имеет f вещественных
корней. Если все корни различны, то f -кратно вырожденный уровень
   3 Термин   заимствован из небесной механики.



                                           32

Страницы