Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3.
Вариационный метод
Еще один метод приближенного решения стационарного уравнения
Шредингера основан на использовании наперед заданного (из общих
соображений, основанных на учете особенностей каждой конкретной
задачи) вида волновой функции, содержащего то или иное число произ-
вольных параметров, и последующем подборе значений этих парамет-
ров. Это так называемый вариационный метод. Мы ограничимся его
применением лишь к финитному движению (хотя его можно адаптиро-
вать и к задачам рассеяния). Данный метод обычно используется для
вычисления энергий и волновых функций основных и слабо возбуж-
денных стационарных состояний без привлечения теории возмущений
и не требует знания решений более простых уравнений.
3.1. Вариационный принцип
Основное состояние
Пусть
ˆ
H — гамильтониан, у которого дискретный спектр ограни-
чен снизу собственным значением E
0
(энергия основного состояния).
Вариационный принцип основывается на следующем неравенстве:
E
0
6 hΨ
0
|
ˆ
H |Ψ
0
i , (3.1)
где Ψ
0
— произвольная (из L
2
) функция, удовлетворяющая условию
нормировки:
hΨ
0
|Ψ
0
i = 1. (3.2)
Напомним, что матричный элемент в правой части неравенства (3.1)
равен среднему значению энергии системы с гамильтонианом
ˆ
H в со-
стоянии |Ψ
0
i. Доказательство (3.1) легко провести, если разложить про-
извольную квадратично-интегрируемую функцию Ψ
0
по полной орто-
нормированной системе собственных функций {Φ
n
} оператора
ˆ
H
1
:
|Ψ
0
i =
∞
X
n=0
c
(0)
n
|Φ
n
i,
∞
X
n=0
|c
(0)
n
|
2
= 1, (3.3)
1
Заметим, что набор коэффициентов {c
(0)
n
} является энергетическим представ-
лением состояния Ψ
0
.
34
Глава 3.

Вариационный метод

   Еще один метод приближенного решения стационарного уравнения
Шредингера основан на использовании наперед заданного (из общих
соображений, основанных на учете особенностей каждой конкретной
задачи) вида волновой функции, содержащего то или иное число произ-
вольных параметров, и последующем подборе значений этих парамет-
ров. Это так называемый вариационный метод. Мы ограничимся его
применением лишь к финитному движению (хотя его можно адаптиро-
вать и к задачам рассеяния). Данный метод обычно используется для
вычисления энергий и волновых функций основных и слабо возбуж-
денных стационарных состояний без привлечения теории возмущений
и не требует знания решений более простых уравнений.

3.1.    Вариационный принцип
Основное состояние
   Пусть Ĥ — гамильтониан, у которого дискретный спектр ограни-
чен снизу собственным значением E0 (энергия основного состояния).
Вариационный принцип основывается на следующем неравенстве:

                               E0 6 hΨ0 | Ĥ |Ψ0 i ,                       (3.1)

где Ψ0 — произвольная (из L2 ) функция, удовлетворяющая условию
нормировки:
                             hΨ0 |Ψ0 i = 1.                        (3.2)
Напомним, что матричный элемент в правой части неравенства (3.1)
равен среднему значению энергии системы с гамильтонианом Ĥ в со-
стоянии |Ψ0 i. Доказательство (3.1) легко провести, если разложить про-
извольную квадратично-интегрируемую функцию Ψ0 по полной орто-
нормированной системе собственных функций {Φn } оператора Ĥ 1 :
                           ∞
                           X                            ∞
                                                        X
                 |Ψ0 i =         c(0)
                                  n     |Φn i ,               |c(0) 2
                                                                n | = 1,   (3.3)
                           n=0                          n=0
  1 Заметим,                                      (0)
             что набор коэффициентов {cn } является энергетическим представ-
лением состояния Ψ0 .


                                            34

Страницы