Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

где
ˆ
HΦ
n
= E
n
Φ
n
, E
n>0
≥ E
0
. (3.4)
Подставляя (3.3) в матричный элемент hΨ
0
|
ˆ
H |Ψ
0
i и учитывая (3.4)
и ортонормированность собственных функций {Φ
n
}, приходим к нера-
венству (3.1):
hEi = hΨ
0
|
ˆ
H |Ψ
0
i =
∞
X
n=0
|c
(0)
n
|
2
E
n
> E
0
∞
X
n=0
|c
(0)
n
|
2
| {z }
1
= E
0
.
Таким образом, на языке вариационного исчисления истинная волно-
вая функция основного состояния {Φ
0
} является экстремалью функци-
онала J(Ψ
0
, Ψ
∗
0
) = hΨ
0
|
ˆ
H |Ψ
0
i, а энергия основного состояния E
0
есть
минимальное значение этого функционала, соответствующее функции
Ψ
0
= Φ
0
.
Возбужденные состояния
Соотношение типа (3.1) нетрудно получить и для случая возбуж-
денных состояний. Так, для первого возбужденного состояния (с точной
энергией E
1
) произвольную волновую функцию Ψ
1
нужно выбрать так,
чтобы в разложении (3.3) отсутствовало слагаемое с n = 0 (поскольку
Ψ
1
должна быть ортогональной точной функции Φ
0
):
|Ψ
1
i =
∞
X
n=1
c
(1)
n
|Φ
n
i,
∞
X
n=1
|c
(1)
n
|
2
= 1. (3.5)
Повторяя теперь вывод неравенства (3.1), получаем его модификацию
для случая первого возбужденного состояния:
E
1
6 hΨ
1
|
ˆ
H |Ψ
1
i . (3.6)
Аналогичным образом, для k-го возбужденного состояния из разло-
жения функции Ψ
k
по базису {Φ
n
} необходимо исключить все слагае-
мые с n = 0, . . . , (k − 1), обеспечив тем самым ортогональность Ψ
k
ко
всем точным функциям Φ
0
. . . ,Φ
k−1
. Приведем окончательный резуль-
тат:
E
k
6 hΨ
k
|
ˆ
H |Ψ
k
i . (3.7)
Соотношения (3.1), (3.6), (3.7) составляют основу вариационного ме-
тода, поскольку они позволяют сформулировать вариационный прин-
цип: при произвольном выборе волновой функции Ψ среднее значение
35
где
                      ĤΦn = En Φn ,              En>0 ≥ E0 .                    (3.4)
Подставляя (3.3) в матричный элемент hΨ0 | Ĥ |Ψ0 i и учитывая (3.4)
и ортонормированность собственных функций {Φn }, приходим к нера-
венству (3.1):
                                   ∞
                                   X                        ∞
                                                            X
         hEi = hΨ0 | Ĥ |Ψ0 i =           |c(0) 2
                                            n | En   > E0         |c(0) 2
                                                                    n | = E0 .
                                   n=0                      n=0
                                                            |     {z   }
                                                                  1

Таким образом, на языке вариационного исчисления истинная волно-
вая функция основного состояния {Φ0 } является экстремалью функци-
онала J(Ψ0 , Ψ∗0 ) = hΨ0 | Ĥ |Ψ0 i, а энергия основного состояния E0 есть
минимальное значение этого функционала, соответствующее функции
Ψ0 = Φ 0 .

Возбужденные состояния
   Соотношение типа (3.1) нетрудно получить и для случая возбуж-
денных состояний. Так, для первого возбужденного состояния (с точной
энергией E1 ) произвольную волновую функцию Ψ1 нужно выбрать так,
чтобы в разложении (3.3) отсутствовало слагаемое с n = 0 (поскольку
Ψ1 должна быть ортогональной точной функции Φ0 ):
                           ∞
                           X                       ∞
                                                   X
                 |Ψ1 i =         c(1)
                                  n     |Φn i ,          |c(1) 2
                                                           n | = 1.              (3.5)
                           n=1                     n=1

Повторяя теперь вывод неравенства (3.1), получаем его модификацию
для случая первого возбужденного состояния:

                               E1 6 hΨ1 | Ĥ |Ψ1 i .                             (3.6)

   Аналогичным образом, для k-го возбужденного состояния из разло-
жения функции Ψk по базису {Φn } необходимо исключить все слагае-
мые с n = 0, . . . , (k − 1), обеспечив тем самым ортогональность Ψk ко
всем точным функциям Φ0 . . . ,Φk−1 . Приведем окончательный резуль-
тат:
                               Ek 6 hΨk | Ĥ |Ψk i .               (3.7)

   Соотношения (3.1), (3.6), (3.7) составляют основу вариационного ме-
тода, поскольку они позволяют сформулировать вариационный прин-
цип: при произвольном выборе волновой функции Ψ среднее значение


                                            35

Страницы