Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 37 стр.

энергии. Поэтому J(α, β, . . .) должен иметь локальный минимум, по-
ложение которого (α0 , β0 , . . .) вычисляется из решения уравнений

                    ∂J                     ∂J
                                       =                      = . . . = 0.   (3.11)
                    ∂α   α0 ,β0 ,...       ∂β   α0 ,β0 ,...

В случае возбужденных состояний систему (3.11) необходимо допол-
нить условиями ортогональности пробной функции Ψ(ξ; α, β, . . .) вол-
новым функциям Ψl состояний с меньшими значениями энергии. Так,
для k-го возбужденного состояния потребуется учесть k дополнитель-
ных условий:
      Z
         Ψ∗l (ξ)Ψ(ξ; α0 , β0 , . . .) dξ = 0, l = 0, 1, . . . , k − 1 . (3.12)
                                                  |        {z       }
                                                                    kштук

Заметим, что часть равенств (3.12) может выполняться тождественно
вследствие определенной симметрии.
   После подстановки найденных значений (α0 , β0 , . . .) в энергетиче-
ский функционал и пробную функцию получаем соответственно вари-
ационное значение энергии

                              Evar = J(α0 , β0 , . . .)

и вариационную волновую функцию

                         Ψvar (ξ) = Ψ(ξ; α0 , β0 , . . .).

При произвольном выборе пробной функции вариационное значение
энергии соотносится с точным в соответствии с (3.8):

                                       Evar > E.                             (3.13)

   Вариационная функция не обязана удовлетворять уравнению Шре-
дингера (последнее случается лишь, если удалось угадать правильный
аналитический вид точного решения с точностью до произвольных кон-
стант – варьируемых параметров)3 . Чем ближе вариационная функция
к точной, тем неравенство (3.13) ближе к строгому равенству. Если
же вариационная функция совпадает с точной, получится и точное
значение энергии. Поэтому залогом успешного использования метода
Ритца является удачный выбор пробной функции. Необходимо учиты-
вать симметрию задачи, правильное асимптотическое поведение проб-
ной функции, а также выбирать ее в соответствии с осцилляционной
  3 Выбирая,   например, для основного состояния осциллятора пробную функцию
в виде Ψ0 (x; α, β) = α exp(−βx2 ).


                                            37