Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

теоремой (если речь идет об одномерной задаче). Примеры решения
конкретных вариационных задач с анализом пробных функций содер-
жатся, например, в [3] из списка основной литературы (Гл. 3).
Метод Ритца эффективен при исследовании основного и нескольких
первых возбужденных состояний.
3.3. Вариационный вывод уравнения Шредингера
для стационарных состояний
В качестве примера использования вариационного метода с варьи-
рованием формы волновой функции получим уравнение Шредингера
для стационарных состояний квантовой системы с гамильтонианом
ˆ
H.
В соответствии с (3.8), (3.9), для этого необходимо методами вариаци-
онного исчисления минимизировать функционал
J =
Z
Ψ
∗
ˆ
HΨ dξ (3.14)
при дополнительном условии
Z
Ψ
∗
Ψ dξ = 1, (3.15)
налагаемом на варьируемые функции Ψ и Ψ
∗
(ввиду комплексности
Ψ, в общем случае они рассматриваются как независимые). Это мате-
матическая задача поиска условного экстремума. Она сводится к за-
даче безусловного экстремума введением неопределенного множителя
Лагранжа, который мы обозначим буквой E, и варьированием следу-
ющего функционала:
˜
J =
Z
Ψ
∗
ˆ
HΨ dξ − E
Z
Ψ
∗
Ψ dξ =
Z
Ψ
∗
(
ˆ
H − E)Ψ dξ. (3.16)
Теперь функционал
˜
J варьируется по функциям Ψ и Ψ
∗
, которые рас-
сматриваются как независимые:
δ
˜
J = δ
Z
Ψ
∗
(
ˆ
H − E)Ψ dξ =
Z
δΨ
∗
(
ˆ
H − E)Ψ dξ +
Z
Ψ
∗
(
ˆ
H − E) δΨ dξ.
Условие минимума функционала
˜
J сводится к обращению в нуль
его вариации или, с учетом самосопряженности гамильтониана, к ра-
венству
Z
δΨ
∗
(
ˆ
H − E)Ψ dξ +
Z
δΨ(
ˆ
H − E)
∗
Ψ
∗
dξ = 0. (3.17)
38
теоремой (если речь идет об одномерной задаче). Примеры решения
конкретных вариационных задач с анализом пробных функций содер-
жатся, например, в [3] из списка основной литературы (Гл. 3).
   Метод Ритца эффективен при исследовании основного и нескольких
первых возбужденных состояний.

3.3.   Вариационный вывод уравнения Шредингера
       для стационарных состояний
   В качестве примера использования вариационного метода с варьи-
рованием формы волновой функции получим уравнение Шредингера
для стационарных состояний квантовой системы с гамильтонианом Ĥ.
В соответствии с (3.8), (3.9), для этого необходимо методами вариаци-
онного исчисления минимизировать функционал
                                 Z
                            J = Ψ∗ ĤΨ dξ                       (3.14)

при дополнительном условии
                         Z
                              Ψ∗ Ψ dξ = 1,                      (3.15)

налагаемом на варьируемые функции Ψ и Ψ∗ (ввиду комплексности
Ψ, в общем случае они рассматриваются как независимые). Это мате-
матическая задача поиска условного экстремума. Она сводится к за-
даче безусловного экстремума введением неопределенного множителя
Лагранжа, который мы обозначим буквой E, и варьированием следу-
ющего функционала:
           Z              Z          Z
       J˜ = Ψ ĤΨ dξ − E Ψ Ψ dξ = Ψ∗ (Ĥ − E)Ψ dξ.
               ∗              ∗
                                                            (3.16)

Теперь функционал J˜ варьируется по функциям Ψ и Ψ∗ , которые рас-
сматриваются как независимые:
        Z                 Z                  Z
   ˜
 δ J = δ Ψ (Ĥ − E)Ψ dξ = δΨ (Ĥ − E)Ψ dξ + Ψ∗ (Ĥ − E) δΨ dξ.
           ∗                   ∗



   Условие минимума функционала J˜ сводится к обращению в нуль
его вариации или, с учетом самосопряженности гамильтониана, к ра-
венству    Z                    Z
              δΨ (Ĥ − E)Ψ dξ + δΨ(Ĥ − E)∗ Ψ∗ dξ = 0.
                ∗
                                                           (3.17)


                                 38

Страницы