Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 36 стр.

энергии всегда будет ограниченным снизу точным значением энер-
гии соответствующего стационарного состояния 2 . Это означает, что
сущность вариационного метода состоит в решении вариационной за-
дачи:
                              E = min hΨ| Ĥ |Ψi                          (3.8)
при дополнительных условиях нормировки

                                  hΨ |Ψi = 1                              (3.9)

и ортогональности искомой функции Ψ волновым функциям всех ни-
жележащих возбужденных состояний. Матричный элемент в правой
части (3.8) называется энергетическим функционалом J(Ψ, Ψ∗ ).
   В практических приложениях сформулированный выше вариаци-
онный принцип может использоваться двояко, в зависимости от того,
какая информация об искомой волновой функции нас интересует. Наи-
более часто в вариационном методе используют пробные (варьируемые)
функции заданного аналитического вида с неизвестными параметрами,
оптимальные значения которых и получаются в результате вариацион-
ной процедуры (так называемый метод Ритца). Однако можно варьи-
ровать и форму (т. е. аналитический вид) искомой волновой функции,
как это обычно делается, например, в вариационном выводе уравне-
ний классической механики. В этом случае вариационный принцип не
позволяет получить явные выражения для волновых функций, а дает
лишь уравнения для этих функций. Ниже кратко описаны оба варианта
вариационного метода.

3.2.    Вариационный метод Ритца
   Прямой вариационный метод (или метод Ритца) сводится к выбо-
ру «пробной функции» Ψ(ξ; α, β, . . .) с заданным аналитическим видом
и конечным числом неизвестных параметров α, β, . . . . Получающийся
при этом энергетический функционал
                            R ∗
                              Ψ (ξ; α, β, . . .)ĤΨ∗ (ξ; α, β, . . .) dξ
           J(α, β, . . .) =  R                                           (3.10)
                               Ψ∗ (ξ; α, β, . . .)Ψ∗ (ξ; α, β, . . .) dξ
будет функцией этих параметров (обратим внимание, что знамена-
тель функционала (3.10) автоматически учитывает условие нормиров-
ки (3.9), (3.15)).
   В соответствии с (3.8), при произвольных параметрах (α, β, . . .) зна-
чение функционала J(α, β, . . .) ограничено снизу точным значением
  2 Зависящего   от дополнительных условий, налагаемых на Ψ.


                                       36