Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

невырожденных уровней, рассматривая квантовое число k как пара-
метр. Другими словами, задачу нужно решать независимо для каж-
дого фиксированного значения k, пользуясь теорией возмущений для
невырожденных уровней. При этом поправки к энергии могут зависеть
от параметра k (снятие вырождения).
Если в уравнении Шредингера с гамильтонианом (2.1) требуется
найти энергию с точностью до первого порядка, поправку к волновой
функции вычислять не следует, поскольку для расчета наблюдаемых
величин требуется вычисление матричных элементов. При учете по-
правок к волновой функции в матричных элементах появляются квад-
ратичные по возмущению члены, что является превышением точности.
Поэтому в формуле (2.19) при вычислении ∆E
(1)
n
ограничиваются Ψ
(0)
n
,
в (2.21) при нахождении ∆E
(2)
n
в волновой функции оставляют ∆Ψ
(1)
n
и т. д.
2
Ряды теории возмущений (2.8), (2.9) могут быть как сходящими-
ся, так и асимптотическими. В качестве примера можно рассмотреть
возмущение вида λx
3
, действующее на линейный гармонический ос-
циллятор. В этом случае движение становится инфинитным. Поэтому,
начиная с некоторого слагаемого, ряды (2.8), (2.9) расходятся. Пред-
лагаем проверить это самостоятельно.
В большинстве случаев формулы (2.19)–(2.21) оказываются доста-
точными для приближенного решения задачи. Условие их применимо-
сти сводится, очевидно, к выполнению неравенства
|V
nm
| |E
(0)
n
− E
(0)
m
|. (2.23)
На практике обычно поступают следующим образом. Вначале находят
поправку первого порядка к энергии по формуле (2.19). Если она оказы-
вается ненулевой, решение задачи завершают. Если E
(1)
n
= 0 (что может
быть обусловлено определенной симметрией оператора
ˆ
V и функций
Ψ
(0)
n
) это еще не означает, что поправка отсутствует вообще. В таком
случае переходят к вычислению поправки второго порядка к энергии
E
(2)
n
и первого порядка к функции Ψ
(1)
n
и т. д. Как только очередная
поправка к энергии E
(k)
n
становится ненулевой, вычисления прекраща-
ют. Данная процедура иногда называется поиском поправок в первом
неисчезающем порядке теории возмущений.
2
Вообще, зная лишь поправки к волновой функции вплоть до Ψ
(k)
n
, можно полу-
чить поправки к энергии до E
(2k+1)
n
.
28
невырожденных уровней, рассматривая квантовое число k как пара-
метр. Другими словами, задачу нужно решать независимо для каж-
дого фиксированного значения k, пользуясь теорией возмущений для
невырожденных уровней. При этом поправки к энергии могут зависеть
от параметра k (снятие вырождения).
    Если в уравнении Шредингера с гамильтонианом (2.1) требуется
найти энергию с точностью до первого порядка, поправку к волновой
функции вычислять не следует, поскольку для расчета наблюдаемых
величин требуется вычисление матричных элементов. При учете по-
правок к волновой функции в матричных элементах появляются квад-
ратичные по возмущению члены, что является превышением точности.
                                             (1)                 (0)
Поэтому в формуле (2.19) при вычислении ∆En ограничиваются Ψn ,
                            (2)                                   (1)
в (2.21) при нахождении ∆En в волновой функции оставляют ∆Ψn
и т. д.2
    Ряды теории возмущений (2.8), (2.9) могут быть как сходящими-
ся, так и асимптотическими. В качестве примера можно рассмотреть
возмущение вида λx3 , действующее на линейный гармонический ос-
циллятор. В этом случае движение становится инфинитным. Поэтому,
начиная с некоторого слагаемого, ряды (2.8), (2.9) расходятся. Пред-
лагаем проверить это самостоятельно.
    В большинстве случаев формулы (2.19)–(2.21) оказываются доста-
точными для приближенного решения задачи. Условие их применимо-
сти сводится, очевидно, к выполнению неравенства

                          |Vnm |  |En(0) − Em
                                             (0)
                                                 |.                   (2.23)

На практике обычно поступают следующим образом. Вначале находят
поправку первого порядка к энергии по формуле (2.19). Если она оказы-
                                                   (1)
вается ненулевой, решение задачи завершают. Если En = 0 (что может
быть обусловлено определенной симметрией оператора V̂ и функций
  (0)
Ψn ) это еще не означает, что поправка отсутствует вообще. В таком
случае переходят к вычислению поправки второго порядка к энергии
  (2)                                (1)
En и первого порядка к функции Ψn и т. д. Как только очередная
                     (k)
поправка к энергии En становится ненулевой, вычисления прекраща-
ют. Данная процедура иногда называется поиском поправок в первом
неисчезающем порядке теории возмущений.
  2 Вообще,                                                 (k)
           зная лишь поправки к волновой функции вплоть до Ψ n , можно полу-
                            (2k+1)
чить поправки к энергии до En      .




                                     28

Страницы