Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

любой момент времени t ≥ τ может быть представлено в виде суперпо-
зиции стационарных состояний гамильтониана
ˆ
H
0
(ξ) с постоянными
коэффициентами, зависящими от времени τ действия внешнего возму-
щения как от параметра:
Ψ(ξ, t > τ) =
X
k
a
k
(τ)ψ
k
(ξ) e
iE
k
t/}
. (4.3)
Очевидно, что это состояние является нестационарным, а коэффици-
ент a
k
(τ) определяет амплитуду вероятности обнаружения системы в
стационарном состоянии |ki после прекращения действия внешнего по-
ля. Если |ki отличается от |ii, то говорят, что, вследствие действия
внешнего возмущения
ˆ
V (ξ, t), система совершила квантовый переход
из начального состояния |ii с энергией E
i
в конечное состояние |ki с
энергией E
k
. Часто конечные (англ. final) состояния обозначаются |fi,
а их энергии – E
f
. Факт квантового перехода не противоречит зако-
ну сохранения энергии, поскольку при наличии переменного внешнего
воздействия (т. е. в интервале времени ∆t = τ) энергия не сохраняется,
d
ˆ
H
dt
=
∂
ˆ
H
∂t
=
∂
∂t
ˆ
V (ξ, t) 6= 0,
и изменение энергии квантовой системы ∆E
fi
= E
f
− E
i
(которое мо-
жет быть как положительным, так и отрицательным) компенсируется
за счёт внешнего поля. Задачей теории квантовых переходов является
вычисление вероятности того или иного квантового перехода i → f,
которая, как следует из вышесказанного, дается квадратом модуля ам-
плитуды перехода a
f
(τ) ≡ a
fi
(τ):
W
fi
= |a
fi
(τ)|
2
. (4.4)
Подчеркнем, что это выражение дает полную вероятность перехода за
все время действия возмущения и удовлетворяет условию нормировки
X
f
W
fi
=
X
f
|a
fi
(τ)|
2
= 1, (4.5)
в котором суммирование включает и вероятность того, что система
останется в исходном состоянии (слагаемое с f = i).
Для расчета вероятностей квантовых переходов вначале необходи-
мо решить нестационарное уравнение Шредингера (4.1) с начальным
условием
Ψ(ξ, 0) = ψ
i
(ξ), (4.6)
где ψ
i
(ξ) – одно из решений «невозмущённого» стационарного уравне-
ния Шредингера
ˆ
H
0
ψ
k
= E
k
ψ
k
.
41
любой момент времени t ≥ τ может быть представлено в виде суперпо-
зиции стационарных состояний гамильтониана Ĥ0 (ξ) с постоянными
коэффициентами, зависящими от времени τ действия внешнего возму-
щения как от параметра:
                                X
                 Ψ(ξ, t > τ ) =   ak (τ )ψk (ξ) eiEk t/} .    (4.3)
                                  k

Очевидно, что это состояние является нестационарным, а коэффици-
ент ak (τ ) определяет амплитуду вероятности обнаружения системы в
стационарном состоянии |ki после прекращения действия внешнего по-
ля. Если |ki отличается от |ii, то говорят, что, вследствие действия
внешнего возмущения V̂ (ξ, t), система совершила квантовый переход
из начального состояния |ii с энергией Ei в конечное состояние |ki с
энергией Ek . Часто конечные (англ. final) состояния обозначаются |f i,
а их энергии – Ef . Факт квантового перехода не противоречит зако-
ну сохранения энергии, поскольку при наличии переменного внешнего
воздействия (т. е. в интервале времени ∆t = τ ) энергия не сохраняется,
                      dĤ   ∂ Ĥ   ∂
                          =      =    V̂ (ξ, t) 6= 0,
                      dt     ∂t    ∂t
и изменение энергии квантовой системы ∆Ef i = Ef − Ei (которое мо-
жет быть как положительным, так и отрицательным) компенсируется
за счёт внешнего поля. Задачей теории квантовых переходов является
вычисление вероятности того или иного квантового перехода i → f ,
которая, как следует из вышесказанного, дается квадратом модуля ам-
плитуды перехода af (τ ) ≡ af i (τ ):
                            Wf i = |af i (τ )|2 .                 (4.4)
Подчеркнем, что это выражение дает полную вероятность перехода за
все время действия возмущения и удовлетворяет условию нормировки
                     X         X
                        Wf i =   |af i (τ )|2 = 1,           (4.5)
                       f              f

в котором суммирование включает и вероятность того, что система
останется в исходном состоянии (слагаемое с f = i).
   Для расчета вероятностей квантовых переходов вначале необходи-
мо решить нестационарное уравнение Шредингера (4.1) с начальным
условием
                           Ψ(ξ, 0) = ψi (ξ),                 (4.6)
где ψi (ξ) – одно из решений «невозмущённого» стационарного уравне-
ния Шредингера
                            Ĥ0 ψk = Ek ψk .


                                      41

Страницы