Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Неизвестную нормированную функцию Ψ(ξ, t) удобно искать в виде
разложения по базису стационарных состояний невозмущенного га-
мильтониана H
0
:
Ψ(ξ, t) =
X
k
a
k
(t)ψ
k
(ξ) e
iE
k
t/}
, (4.7)
в котором неизвестные коэффициенты a
k
(t) зависят от времени вплоть
до t = τ, а далее остаются постоянными и дают искомые амплитуды
переходов a
ki
(τ). Отметим также, что a
k
(t) нормированы условием
X
k
|a
k
(t)|
2
= 1, (4.8)
не зависящим от времени.
Уравнения для коэффициентов a
f
(t) получаются подстановкой раз-
ложения (4.7) в уравнение Шредингера (4.1), умножением его слева на
ψ
∗
f
(ξ)e
iE
f
t/}
и последующим интегрированием по координатам. С уче-
том ортонормированности невозмущенных волновых функций это даёт
для искомых коэффициентов бесконечную систему обыкновенных ли-
нейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:
i}
d
dt
a
f
(t) =
X
k
V
fk
(t) e
i ω
f k
t
a
k
(t), (4.9)
где
V
k
0
k
(t) =
Z
ψ
∗
k
0
(ξ)
ˆ
V (ξ, t)ψ
k
(ξ) dξ (4.10)
— матричный элемент оператора возмущения в базисе невозмущенных
волновых функций,
ω
k
0
k
= (E
k
0
− E
k
)/} (4.11)
— так называемая частота перехода k → k
0
.
Отметим, что система (4.9) эквивалентна нестационарному уравне-
нию Шредингера (4.1). Иначе говоря, (4.9) есть уравнение Шредингера
(4.1), записанное в представлении взаимодействия (см. Ч.1, пп. 3.5,
3.8). Как видно, именно это представление для описания эволюции
квантовой системы во времени оказывается наиболее удобным в тео-
рии квантовых переходов. Решение сформулированной выше задачи
с начальным условием (задачи Коши) для уравнения Шредингера в
частных производных (4.1) в представлении Шредингера эквивалент-
но решению «уравнения Шредингера» (4.9) в представлении взаимо-
действия с начальным условием (сравни с (4.6)):
a
f
(0) = δ
fi
. (4.12)
42
Неизвестную нормированную функцию Ψ(ξ, t) удобно искать в виде
разложения по базису стационарных состояний невозмущенного га-
мильтониана H0 :
                            X
                  Ψ(ξ, t) =   ak (t)ψk (ξ) eiEk t/} ,     (4.7)
                                     k

в котором неизвестные коэффициенты ak (t) зависят от времени вплоть
до t = τ , а далее остаются постоянными и дают искомые амплитуды
переходов aki (τ ). Отметим также, что ak (t) нормированы условием
                             X
                               |ak (t)|2 = 1,                    (4.8)
                                 k

не зависящим от времени.
     Уравнения для коэффициентов af (t) получаются подстановкой раз-
ложения (4.7) в уравнение Шредингера (4.1), умножением его слева на
ψf∗ (ξ)eiEf t/} и последующим интегрированием по координатам. С уче-
том ортонормированности невозмущенных волновых функций это даёт
для искомых коэффициентов бесконечную систему обыкновенных ли-
нейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:
                       d           X
                  i}      af (t) =   Vf k (t) ei ωf k t ak (t),    (4.9)
                       dt
                                         k

где                              Z
                   Vk0 k (t) =       ψk∗0 (ξ)V̂ (ξ, t)ψk (ξ) dξ   (4.10)

— матричный элемент оператора возмущения в базисе невозмущенных
волновых функций,
                       ωk0 k = (Ek0 − Ek )/}               (4.11)
— так называемая частота перехода k → k 0 .
    Отметим, что система (4.9) эквивалентна нестационарному уравне-
нию Шредингера (4.1). Иначе говоря, (4.9) есть уравнение Шредингера
(4.1), записанное в представлении взаимодействия (см. Ч.1, пп. 3.5,
3.8). Как видно, именно это представление для описания эволюции
квантовой системы во времени оказывается наиболее удобным в тео-
рии квантовых переходов. Решение сформулированной выше задачи
с начальным условием (задачи Коши) для уравнения Шредингера в
частных производных (4.1) в представлении Шредингера эквивалент-
но решению «уравнения Шредингера» (4.9) в представлении взаимо-
действия с начальным условием (сравни с (4.6)):

                                  af (0) = δf i .                 (4.12)


                                             42

Страницы