Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Конечно, как уравнение (4.1), так и эквивалентная ему система урав-
нений (4.9) не могут быть решены точно при произвольной зависимо-
сти V (ξ, t) (или V
k
0
k
(t)) от времени. Поэтому ниже будут рассмотрены
основные приближенные методы расчёта вероятностей квантовых пе-
реходов.
4.2. Нестационарная теория возмущений
В ряде случаев оператор взаимодействия с внешним полем
ˆ
V (ξ, t)
можно рассматривать как малое возмущение, и тогда удается развить
формальный аппарат нестационарной теории возмущений. Действи-
тельно, если возмущение
ˆ
V (ξ, t) содержит малый параметр λ (анало-
гично случаю стационарной теории возмущений в Гл. 2), то в «ну-
левом» порядке по λ в правой части системы (4.9) можно положить
a
k
(t) равным его значению при t = 0, т. е. начальному условию: a
k
(t) ≈
a
(0)
k
(t) = δ
ki
. В левой же части (4.9) a
f
(t) представим в виде суммы
a
f
(t) ≈ a
(0)
f
(t) + a
(1)
f
(t), где a
(1)
f
(t) имеет малость порядка λ. Тогда вы-
ражение для a
(1)
f
(t) имеет следующий простой вид:
a
(1)
f
(t) =
1
i}
Z
t
0
V
fi
(t
0
) e
i ω
f i
t
0
dt
0
, (4.13)
а результирующее выражение для коэффициентов a
f
(t) с учетом чле-
нов нулевого и первого порядка по возмущению
ˆ
V (ξ, t) есть
a
f
(t) ≈ δ
fi
+
1
i}
Z
t
0
V
fi
(t
0
) e
i ω
f i
t
0
dt
0
. (4.14)
Заметим, что при t > τ верхний предел интеграла в этом выражении
заменяется на τ и a
f
(t) перестает зависеть от t, принимая постоянное
значение a
f
(τ). Условие применимости теории возмущений для расчета
амплитуды перехода требует выполнения неравенства
1
1
}
2
Z
τ
0
V
fi
(t
0
) e
i ω
f i
t
0
dt
0
. (4.15)
В итоге для вероятности перехода (4.4) в первом порядке теории
возмущений получаем:
W
fi
=
1
}
2
Z
τ
0
V
fi
(t
0
) e
i ω
f i
t
0
dt
0
2
, f 6= i . (4.16)
43
Конечно, как уравнение (4.1), так и эквивалентная ему система урав-
нений (4.9) не могут быть решены точно при произвольной зависимо-
сти V (ξ, t) (или Vk0 k (t)) от времени. Поэтому ниже будут рассмотрены
основные приближенные методы расчёта вероятностей квантовых пе-
реходов.

4.2.   Нестационарная теория возмущений
    В ряде случаев оператор взаимодействия с внешним полем V̂ (ξ, t)
можно рассматривать как малое возмущение, и тогда удается развить
формальный аппарат нестационарной теории возмущений. Действи-
тельно, если возмущение V̂ (ξ, t) содержит малый параметр λ (анало-
гично случаю стационарной теории возмущений в Гл. 2), то в «ну-
левом» порядке по λ в правой части системы (4.9) можно положить
ak (t) равным его значению при t = 0, т. е. начальному условию: ak (t) ≈
 (0)
ak (t) = δki . В левой же части (4.9) af (t) представим в виде суммы
          (0)      (1)         (1)
af (t) ≈ af (t) + af (t), где af (t) имеет малость порядка λ. Тогда вы-
              (1)
ражение для af (t) имеет следующий простой вид:
                                          Z       t
                       (1)        1                                                     0
                      af (t)   =                      Vf i (t0 ) ei ωf i t dt0 ,                           (4.13)
                                 i}           0

а результирующее выражение для коэффициентов af (t) с учетом чле-
нов нулевого и первого порядка по возмущению V̂ (ξ, t) есть
                                                  Z       t
                                     1                                                      0
                    af (t) ≈ δf i +                           Vf i (t0 ) ei ωf i t dt0 .                   (4.14)
                                    i}                0

Заметим, что при t > τ верхний предел интеграла в этом выражении
заменяется на τ и af (t) перестает зависеть от t, принимая постоянное
значение af (τ ). Условие применимости теории возмущений для расчета
амплитуды перехода требует выполнения неравенства
                              Z τ
                            1                         0
                       1 2       Vf i (t0 ) ei ωf i t dt0 .    (4.15)
                           }   0

   В итоге для вероятности перехода (4.4) в первом порядке теории
возмущений получаем:
                             Z     τ                                                2
                        1                         0           i ω f i t0        0
               Wf i   = 2              Vf i (t ) e                         dt           ,       f 6= i .   (4.16)
                       }       0




                                                  43

Страницы