Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

С помощью итерационной процедуры можно получить a
f
(t) и в бо-
лее высоких порядках теории возмущений (что может оказаться необ-
ходимым, например, если a
(1)
f
(t) обращается в нуль при заданных |ii и
|fi). Так, для нахождения поправок 2-го порядка нужно в левую часть
(4.9) подставить a
f
(t) в виде a
f
(t) ≈ δ
fi
+a
(1)
f
(t)+ a
(2)
f
(t), а в правой ча-
сти слагаемое с a
(2)
f
(t) следует опустить, поскольку оно имеет малость
порядка λ
3
. Учитывая явный вид (4.13) для a
(1)
f
(t), легко получает-
ся выражение для a
(2)
f
(t) в виде повторного интеграла (получить его
самим).
4.3. Адиабатическое и внезапное возмущения
Ниже мы будем рассматривать вероятности квантовых переходов,
используя первый порядок теории возмущений. В этом случае веро-
ятность перехода из состояния |ii в |f i дается соотношением (4.16).
Это соотношение может быть упрощено в двух предельных случаях –
очень плавного («адиабатического») и очень быстрого («внезапного»)
изменения возмущения
ˆ
V (ξ, t) во времени. Для этого преобразуем со-
отношение (4.16), используя метод интегрирования по частям с учётом
того, что
ˆ
V (ξ, t) обращается в нуль при t = 0 и t = τ :
i ω
fi
Z
τ
0
V
fi
(t) e
i ω
f i
t
dt = e
i ω
f i
t
V
fi
(t)
τ
0
| {z }
0
−
Z
τ
0
e
i ω
f i
t
∂
∂t
V
fi
(t) dt.
После сделанных преобразований вероятность перехода определяется
соотношением
W
fi
=
1
(}ω
fi
)
2
Z
τ
0
e
i ω
f i
t
0
∂
∂t
V
fi
(t) dt
0
2
, (4.17)
также содержащим интегрирование по времени, но уже от частной про-
изводной по времени матричного элемента оператора возмущения.
Как видно, в соотношении (4.17) скорость изменения матричного
элемента фигурирует вместе с осциллирующей экспонентой, что поз-
воляет выделить два предельных случая «внезапного» и «адиабати-
ческого» возмущения. С одной стороны, соотношение (4.17) содержит
величину, определяющую характерные времена (T ∼ ω
−1
fi
) и энергии
(E = }ω
fi
) для данной квантовой системы, с другой же – скорость из-
менения матричного элемента, характеризующую изменение внешнего
поля, определяемого потенциалом
ˆ
V (ξ, t). Нетрудно составить безраз-
44
     С помощью итерационной процедуры можно получить af (t) и в бо-
лее высоких порядках теории возмущений (что может оказаться необ-
                             (1)
ходимым, например, если af (t) обращается в нуль при заданных |ii и
|f i). Так, для нахождения поправок 2-го порядка нужно в левую часть
                                                (1)      (2)
(4.9) подставить af (t) в виде af (t) ≈ δf i + af (t) + af (t), а в правой ча-
                     (2)
сти слагаемое с af (t) следует опустить, поскольку оно имеет малость
                                                           (1)
порядка λ3 . Учитывая явный вид (4.13) для af (t), легко получает-
                           (2)
ся выражение для af (t) в виде повторного интеграла (получить его
самим).

4.3.     Адиабатическое и внезапное возмущения
   Ниже мы будем рассматривать вероятности квантовых переходов,
используя первый порядок теории возмущений. В этом случае веро-
ятность перехода из состояния |ii в |f i дается соотношением (4.16).
Это соотношение может быть упрощено в двух предельных случаях –
очень плавного («адиабатического») и очень быстрого («внезапного»)
изменения возмущения V̂ (ξ, t) во времени. Для этого преобразуем со-
отношение (4.16), используя метод интегрирования по частям с учётом
того, что V̂ (ξ, t) обращается в нуль при t = 0 и t = τ :
             Z τ                                           τ  Z τ
                                                                           ∂
      i ωf i     Vf i (t) ei ωf i t dt = ei ωf i t Vf i (t) −     ei ωf i t Vf i (t) dt.
              0                                            0   0           ∂t
                                         |         {z      }
                                            0

После сделанных преобразований вероятность перехода определяется
соотношением
                               Z τ                              2
                        1            i ω f i t0 ∂             0
              Wf i =               e               Vf i (t) dt ,  (4.17)
                     (}ωf i )2 0                ∂t

также содержащим интегрирование по времени, но уже от частной про-
изводной по времени матричного элемента оператора возмущения.
   Как видно, в соотношении (4.17) скорость изменения матричного
элемента фигурирует вместе с осциллирующей экспонентой, что поз-
воляет выделить два предельных случая «внезапного» и «адиабати-
ческого» возмущения. С одной стороны, соотношение (4.17) содержит
величину, определяющую характерные времена (T ∼ ωf−1    i ) и энергии
(E = }ωf i ) для данной квантовой системы, с другой же – скорость из-
менения матричного элемента, характеризующую изменение внешнего
поля, определяемого потенциалом V̂ (ξ, t). Нетрудно составить безраз-


                                          44

Страницы