Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

теории возмущений. Пусть система находится в одном из стационар-
ных состояний ψ
m
гамильтониана
ˆ
H
0
. В момент времени t = 0 проис-
ходит внезапное изменение гамильтониана, и далее он остается равным
ˆ
H (оба гамильтониана явно не зависят от времени)
1
. Пусть {ϕ
n
} —
стационарные состояния гамильтониана
ˆ
H. Найдем вероятность пере-
ходов между состояниями ψ
m
и ϕ
n
. В момент времени t = 0 волновая
функция может быть представлена в виде:
ψ
m
=
X
n
A
nm
ϕ
n
, (4.21)
где
A
nm
=
Z
ϕ
∗
n
ψ
m
d
3
r (4.22)
и определяет точную (без использования теории возмущений) ампли-
туду перехода в случае внезапного возмущения.
4.4. Гармонические и постоянные возмущения.
«Золотое правило Ферми»
Важный случай представляют переходы под действием постоянного
или периодического возмущений, действующих в течение времени τ.
Рассмотрим вначале гармоническое возмущение, оператор которого в
общем случае имеет вид
ˆ
V (ξ, t) =
ˆ
V
+
(ξ) e
−i ωt
+
ˆ
V
−
(ξ) e
i ωt
, (4.23)
где
ˆ
V
+
(ξ) =
ˆ
V
†
−
(ξ), ввиду самосопряженности оператора
ˆ
V (ξ, t). Как
мы увидим ниже, две части оператора
ˆ
V (ξ, t) описывают два различ-
ных процесса, поэтому вычисления будем производить не для полного
оператора
ˆ
V (ξ, t), а для одной из его частей:
ˆ
V
±
(ξ, t) =
ˆ
V
±
(ξ) e
∓i ωt
.
Подставляя явный вид операторов
ˆ
V
±
(ξ, t) в (4.16) и выполняя элемен-
тарное вычисление интеграла по t, получим:
W
(±)
fi
(τ) =
4
}
2
|V
±,fi
|
2
sin
2
[(ω
fi
∓ ω)τ /2]
(ω
fi
∓ ω)
2
. (4.24)
По поводу выражения (4.24), которое формально является осцил-
лирующей функцией времени действия возмущения τ, нужно иметь
ввиду следующие соображения. В большинстве случаев гармоническое
1
Такая ситуация реализуется, например, при бета-распаде ядра, в результате ко-
торого заряд кулоновского поля ядра, действующего на атомные электроны, скач-
ком увеличивается на единицу.
46
теории возмущений. Пусть система находится в одном из стационар-
ных состояний ψm гамильтониана Ĥ0 . В момент времени t = 0 проис-
ходит внезапное изменение гамильтониана, и далее он остается равным
Ĥ (оба гамильтониана явно не зависят от времени)1 . Пусть {ϕn } —
стационарные состояния гамильтониана Ĥ. Найдем вероятность пере-
ходов между состояниями ψm и ϕn . В момент времени t = 0 волновая
функция может быть представлена в виде:
                               X
                         ψm =     Anm ϕn ,                     (4.21)
                                        n

где                                    Z
                              Anm =         ϕ∗n ψm d3 r                   (4.22)

и определяет точную (без использования теории возмущений) ампли-
туду перехода в случае внезапного возмущения.

4.4.    Гармонические и постоянные возмущения.
        «Золотое правило Ферми»
   Важный случай представляют переходы под действием постоянного
или периодического возмущений, действующих в течение времени τ .
Рассмотрим вначале гармоническое возмущение, оператор которого в
общем случае имеет вид

                     V̂ (ξ, t) = V̂+ (ξ) e−i ωt + V̂− (ξ) ei ωt ,         (4.23)

где V̂+ (ξ) = V̂−† (ξ), ввиду самосопряженности оператора V̂ (ξ, t). Как
мы увидим ниже, две части оператора V̂ (ξ, t) описывают два различ-
ных процесса, поэтому вычисления будем производить не для полного
оператора V̂ (ξ, t), а для одной из его частей: V̂± (ξ, t) = V̂± (ξ) e∓i ωt .
Подставляя явный вид операторов V̂± (ξ, t) в (4.16) и выполняя элемен-
тарное вычисление интеграла по t, получим:
                                                2
                  (±)          4           2 sin [(ωf i ∓ ω)τ /2]
                 Wf i (τ )   = 2 |V±,f i |                        .       (4.24)
                              }                   (ωf i ∓ ω)2

   По поводу выражения (4.24), которое формально является осцил-
лирующей функцией времени действия возмущения τ , нужно иметь
ввиду следующие соображения. В большинстве случаев гармоническое
  1 Такая ситуация реализуется, например, при бета-распаде ядра, в результате ко-
торого заряд кулоновского поля ядра, действующего на атомные электроны, скач-
ком увеличивается на единицу.


                                         46

Страницы