Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

возмущение представляет собой монохроматический световой импульс
достаточно большой длительности τ T
a
(по сравнению с характер-
ными «временами движения» в квантовой системе, которые имеют по-
рядок T
a
≈ ~/|ω
fi
|). При малых временах t с момента включения им-
пульса (t T
a
) вероятность перехода растет пропорционально t
2
, что
для случая монохроматического возмущения легко увидеть из (4.24),
разложив квадрат синуса при τ T
a
. Однако при τ T
a
, что как
раз и имеет место для случая реальных монохроматических импульсов
(как, впрочем, и для большинства других типов нестационарных воз-
мущений), вероятность оказывается линейной функцией времени, т. е.
пропорциональна длительности возмущения. Поэтому в таких случаях
для описания квантовых переходов удобнее использовать вероятность
перехода в единицу времени или скорость квантового перехода P
fi
,
имеющую размерность сек
−1
и формально определяемую предельным
выражением
P
fi
= lim
τ→∞
W
fi
(τ)
τ
(4.25)
или эквивалентной ему формулой с производной
P
fi
=
dW
fi
(t)
dt
. (4.26)
Вычисляя производную по τ от W
(±)
fi
(τ) в (4.24) и переходя в полу-
ченном результате к пределу τ → ∞, находим:
P
(±)
fi
=
2π
}
|V
±,fi
|
2
δ(E
f
− E
i
∓ }ω), (4.27)
где мы использовали одно из предельных соотношений для δ-функции
(см. Приложение А.)
δ(x) = lim
a→∞
1
π
sin ax
x
.
Наличие δ-функции в (4.27) отражает закон сохранения энергии при
взаимодействии монохроматического возмущения с квантовой систе-
мой: в первом порядке теории возмущений обмен энергией может осу-
ществляться лишь на фиксированную величину — }ω. Таким образом,
энергия системы может либо увеличиться на }ω, и в этом случае гово-
рят о поглощении кванта с энергией }ω (соответствующая вероятность
определяется величиной W
(+)
fi
), либо уменьшиться на ту же самую ве-
личину }ω, т. е. система испускает квант с энергией }ω (соответствую-
щая вероятность дается W
(−)
fi
). Более того, обмен энергией возможен,
47
возмущение представляет собой монохроматический световой импульс
достаточно большой длительности τ  Ta (по сравнению с характер-
ными «временами движения» в квантовой системе, которые имеют по-
рядок Ta ≈ ~/|ωf i |). При малых временах t с момента включения им-
пульса (t  Ta ) вероятность перехода растет пропорционально t2 , что
для случая монохроматического возмущения легко увидеть из (4.24),
разложив квадрат синуса при τ  Ta . Однако при τ  Ta , что как
раз и имеет место для случая реальных монохроматических импульсов
(как, впрочем, и для большинства других типов нестационарных воз-
мущений), вероятность оказывается линейной функцией времени, т. е.
пропорциональна длительности возмущения. Поэтому в таких случаях
для описания квантовых переходов удобнее использовать вероятность
перехода в единицу времени или скорость квантового перехода Pf i ,
имеющую размерность сек−1 и формально определяемую предельным
выражением
                                      Wf i (τ )
                           Pf i = lim                         (4.25)
                                 τ →∞   τ
или эквивалентной ему формулой с производной

                                     dWf i (t)
                            Pf i =             .               (4.26)
                                       dt
                                          (±)
   Вычисляя производную по τ от Wf i (τ ) в (4.24) и переходя в полу-
ченном результате к пределу τ → ∞, находим:

                   (±)    2π          2
                 Pf i =      |V±,f i | δ(Ef − Ei ∓ }ω),        (4.27)
                           }
где мы использовали одно из предельных соотношений для δ-функции
(см. Приложение А.)
                                     1 sin ax
                          δ(x) = lim          .
                                a→∞ π     x
Наличие δ-функции в (4.27) отражает закон сохранения энергии при
взаимодействии монохроматического возмущения с квантовой систе-
мой: в первом порядке теории возмущений обмен энергией может осу-
ществляться лишь на фиксированную величину — }ω. Таким образом,
энергия системы может либо увеличиться на }ω, и в этом случае гово-
рят о поглощении кванта с энергией }ω (соответствующая вероятность
                            (+)
определяется величиной Wf i ), либо уменьшиться на ту же самую ве-
личину }ω, т. е. система испускает квант с энергией }ω (соответствую-
                            (−)
щая вероятность дается Wf i ). Более того, обмен энергией возможен,




                                     47

Страницы