Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Раскрывая квадратную скобку с учетом некоммутативности операто-
ров
ˆ
p и A, гамильтониан
ˆ
H(r, t), можно представить в виде:
ˆ
H(r, t) =
ˆ
H
0
(r) +
ˆ
V (r, t), (5.3)
где
ˆ
V (r, t) = −
e
mc
A(r, t)
ˆ
p −
i}e
2mc
div A(r, t) +
e
2
2mc
2
A
2
(r, t). (5.4)
Ввиду калибровочной инвариантности теории электромагнитного поля,
в дальнейшем удобно использовать кулоновскую калибровку, в кото-
рой нужно положить ϕ(r, t) = 0, а на векторный потенциал наложить
условие div A(r, t) = 0. В результате оператор
ˆ
V (r, t) взаимодействия
с полем упрощается:
ˆ
V (r, t) = −
e
mc
A(r, t)
ˆ
p +
e
2
2mc
2
A
2
(r, t). (5.5)
Далее мы будем считать взаимодействие с электромагнитным полем
слабым, так что можно ограничиться его учетом в первом порядке тео-
рии возмущений и пренебречь квадратичным по A(r, t) слагаемым в
(5.5):
ˆ
V (r, t) = −
e
mc
A(r, t)
ˆ
p . (5.6)
Рассмотрим важный случай плоской монохроматической волны с
электрическим вектором E(r, t) = −(1/c)∂A(r, t)/∂t, записанным в ви-
де
E(r, t) = E
0
Re
n
u e
i(kr−ωt)
o
, (k · u) = 0, (5.7)
где E
0
— амплитуда, k — волновой вектор и u — комплексный «единич-
ный» вектор поляризации: u ·u
∗
= 1. Теперь
ˆ
V (r, t) можно записать в
виде, использованном ранее в теории квантовых переходов:
ˆ
V (r, t) =
ˆ
V
+
(r)e
−iωt
+
ˆ
V
−
(r)e
iωt
, (5.8)
где
ˆ
V
+
(r) = −i
eE
0
2mω
e
ikr
(u
ˆ
p),
ˆ
V
−
(r) = V
†
+
(r) = i
eE
0
2mω
e
−ikr
(u
∗
ˆ
p). (5.9)
Согласно общему соотношению (4.29), вероятность поглощения или
испускания кванта энергии }ω (или фотона) в единицу времени в ре-
зультате квантового перехода системы между начальным |ii и конеч-
ным |fi состояниями определяется выражением:
P
±
fi
=
2π
}
hf|
ˆ
V
±
|ii
2
ρ(E
f
), E
f
= E
i
± }ω, (5.10)
51
Раскрывая квадратную скобку с учетом некоммутативности операто-
ров p̂ и A, гамильтониан Ĥ(r, t), можно представить в виде:
                              Ĥ(r, t) = Ĥ0 (r) + V̂ (r, t),                    (5.3)
где
                    e               i}e                e2
      V̂ (r, t) = −    A(r, t)p̂ −      div A(r, t) +     2
                                                            A2 (r, t).           (5.4)
                    mc             2mc                2mc
Ввиду калибровочной инвариантности теории электромагнитного поля,
в дальнейшем удобно использовать кулоновскую калибровку, в кото-
рой нужно положить ϕ(r, t) = 0, а на векторный потенциал наложить
условие div A(r, t) = 0. В результате оператор V̂ (r, t) взаимодействия
с полем упрощается:
                                 e               e2
                   V̂ (r, t) = −    A(r, t)p̂ +     2
                                                      A2 (r, t).                 (5.5)
                                 mc             2mc
Далее мы будем считать взаимодействие с электромагнитным полем
слабым, так что можно ограничиться его учетом в первом порядке тео-
рии возмущений и пренебречь квадратичным по A(r, t) слагаемым в
(5.5):
                                    e
                      V̂ (r, t) = −    A(r, t)p̂ .            (5.6)
                                    mc
   Рассмотрим важный случай плоской монохроматической волны с
электрическим вектором E(r, t) = −(1/c)∂A(r, t)/∂t, записанным в ви-
де                          n             o
                                 i(kr−ωt)
             E(r, t) = E0 Re u e            , (k · u) = 0,     (5.7)
где E0 — амплитуда, k — волновой вектор и u — комплексный «единич-
ный» вектор поляризации: u · u∗ = 1. Теперь V̂ (r, t) можно записать в
виде, использованном ранее в теории квантовых переходов:
                          V̂ (r, t) = V̂+ (r)e−iωt + V̂− (r)eiωt ,               (5.8)
где
                  eE0 ikr                                        eE0 −ikr ∗
  V̂+ (r) = −i        e (up̂),         V̂− (r) = V+† (r) = i         e   (u p̂). (5.9)
                 2mω                                            2mω
   Согласно общему соотношению (4.29), вероятность поглощения или
испускания кванта энергии }ω (или фотона) в единицу времени в ре-
зультате квантового перехода системы между начальным |ii и конеч-
ным |f i состояниями определяется выражением:
                          2π             2
                 Pf±i =      hf | V̂± |ii ρ(Ef ),      Ef = Ei ± }ω,            (5.10)
                           }

                                            51

Страницы