Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 52 стр.

где знаки ”+” или “−” соответствует поглощению или испусканию фото-
на, матричные элементы hf | V̂± |ii вычисляются с использованием опе-
раторов V̂± (r) в форме (5.9), а плотность конечных состояний ρ(E)
зависит от типа конкретного перехода.

5.2.   Дипольное приближение
   Точные выражения (5.9) для операторов V̂± (r) достаточно громозд-
ки (особенно из-за наличия экспоненциальных факторов exp(± i k · r))
и затрудняют как численный расчёт амплитуд конкретных переходов,
так и физическую интерпретацию результатов. В классической элек-
тродинамике аналогичные экспоненциальные факторы входят в выра-
жения для запаздывающих потенциалов и описывают так называемые
эффекты запаздывания взаимодействия или, на более понятном языке,
эффекты влияния магнитного поля и пространственной неоднородно-
сти электромагнитной волны. Как и при анализе дипольного излучения
системой зарядов в классической теории, в квантовой механике также
оказывается, что в пределе длин волн, значительно превышающих ха-
рактерные размеры излучающей системы, указанные экспоненты мож-
но (приближенно) опустить, что позволяет ввести в задачу простую ха-
рактеристику системы — электрический дипольный момент d. Поэтому
прежде чем переходить к анализу конкретных электромагнитных пере-
ходов, мы получим простые приближенные выражения для амплитуд
переходов hf | V̂± (r) |ii в (5.10).
   Рассмотрим матричный элемент
                                          eE0
                 hf | V̂+ (r) |ii = −i        hf | eikr (up̂) |ii
                                         2mω
оператора V̂+ (r) в (5.9), определяющий амплитуду перехода с поглоще-
нием излучения. Ввиду экспоненциального убывания волновой функ-
ции связанного состояния при больших r, в случае связанно-связанных
или связанно-свободных переходов область интегрирования по r в этом
матричном элементе, дающая основной вклад в интеграл, ограничена
размерами порядка размера квантовой системы a. Для атомных си-
стем a ∼ 10−8 см. В то же время длина волны оптического излучения λ
значительно больше размеров атомной системы, так что
                                   2πa
                            ka =       ∼ 10−3 .                     (5.11)
                                    λ
Следовательно, в этих случаях экспоненту eikr в V̂+ (r) можно разло-
жить в ряд:
                              ikr (ikr)2
                   eikr = 1 +     +      + ...,                (5.12)
                               1!    2!

                                         52