Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5.3. Правила отбора для дипольных переходов
Выражения (5.16), (5.17) для матричных элементов дипольных пе-
реходов позволяют, исходя из свойств пространственной симметрии
волновых функций начального и конечного состояний, установить, воз-
можен дипольный переход между выбранными состояниями |ii и |f i
или нет (даже если частота внешнего возмущения и удовлетворяет
«условию резонанса»). Будем считать, что система обладает сфери-
ческой симметрией, так что начальное и конечное состояния можно
представить в виде:
hr |ii =
1
r
R
i,l
i
(r)Y
l
i
m
i
(θ, ϕ), hr |fi =
1
r
R
f,l
f
(r)Y
l
f
m
f
(θ, ϕ), (5.18)
где Y
l
i
m
i
(θ, ϕ), Y
l
f
m
f
(θ, ϕ) — сферические функции.
Рассмотрим вначале линейно-поляризованное излучение. В этом
случае ось квантования Oz удобно выбрать вдоль направления веще-
ственного вектора поляризации u (e
z
= u), а скалярное произведение
(ur) в (5.16) записать следующим образом:
(ur) = z = r cos θ = r
r
4π
3
Y
1,0
(θ, ϕ),
где θ = (
d
u, r). Теперь интеграл в (5.16) записывается в виде произве-
дения радиального интеграла и интеграла по углам:
(ud
fi
) =
Z
∞
0
R
∗
f,l
f
(r)R
i,l
i
(r) r dr×
×
Z
Y
∗
l
f
m
f
(θ, ϕ) cos θ Y
l
i
m
i
(θ, ϕ) dΩ. (5.19)
Интегрирование по угловым переменным выполняется аналитически.
Поскольку сферические функции образуют полную систему функций в
пространстве угловых переменных θ и ϕ, то произведение двух (и более)
сферических функций одного и того же аргумента можно представить
в виде конечной линейной комбинации сферических функций того же
аргумента. В частности, можно показать, что выполняется следующее
соотношение:
cos θ Y
l
i
m
i
(θ, ϕ) = AY
l
i
+1 m
i
+ BY
l
i
−1 m
i
,
где
A =
s
(l
i
+ 1)
2
− m
2
i
(2l
i
+ 1)(2l
i
+ 3)
; B =
s
l
2
i
− m
2
i
(2l
i
+ 1)(2l
i
− 1)
.
54
5.3.      Правила отбора для дипольных переходов
   Выражения (5.16), (5.17) для матричных элементов дипольных пе-
реходов позволяют, исходя из свойств пространственной симметрии
волновых функций начального и конечного состояний, установить, воз-
можен дипольный переход между выбранными состояниями |ii и |f i
или нет (даже если частота внешнего возмущения и удовлетворяет
«условию резонанса»). Будем считать, что система обладает сфери-
ческой симметрией, так что начальное и конечное состояния можно
представить в виде:
                 1                                           1
      hr |ii =     Ri,li (r)Yli mi (θ, ϕ),      hr |f i =      Rf,lf (r)Ylf mf (θ, ϕ),   (5.18)
                 r                                           r
где Yli mi (θ, ϕ), Ylf mf (θ, ϕ) — сферические функции.
   Рассмотрим вначале линейно-поляризованное излучение. В этом
случае ось квантования Oz удобно выбрать вдоль направления веще-
ственного вектора поляризации u (ez = u), а скалярное произведение
(ur) в (5.16) записать следующим образом:
                                             r
                                               4π
                      (ur) = z = r cos θ = r      Y1,0 (θ, ϕ),
                                                3
         dr). Теперь интеграл в (5.16) записывается в виде произве-
где θ = (u,
дения радиального интеграла и интеграла по углам:
                 Z    ∞
                           ∗
  (udf i ) =              Rf,l f
                                 (r)Ri,li (r) r dr×
                  0
                                               Z
                                            × Yl∗f mf (θ, ϕ) cos θ Yli mi (θ, ϕ) dΩ.     (5.19)

Интегрирование по угловым переменным выполняется аналитически.
Поскольку сферические функции образуют полную систему функций в
пространстве угловых переменных θ и ϕ, то произведение двух (и более)
сферических функций одного и того же аргумента можно представить
в виде конечной линейной комбинации сферических функций того же
аргумента. В частности, можно показать, что выполняется следующее
соотношение:

                          cos θ Yli mi (θ, ϕ) = AYli +1 mi + BYli −1 mi ,

где                   s                                      s
                             (li + 1)2 −  m2i                         li2 − m2i
                 A=                            ;        B=                          .
                            (2li + 1)(2li + 3)                   (2li + 1)(2li − 1)

                                                   54

Страницы