Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

данная задача отличается граничными условиями, которые требуют от
волновых функций их неисчезновения на бесконечности.
Для простоты ограничимся исследованием короткодействующего
потенциала, который на бесконечности стремится к нулю быстрее куло-
новского. Предположим, что V (r) отлично от нуля только в некоторой
ограниченной области пространства |r| 6 d. Эту часть пространства
будем называть областью действия сил. Вне области действия сил ча-
стицы движутся свободно и их состояние, согласно принципу причин-
ности, можно описать суперпозицией плоской волны
Φ
a
(r) = exp(ik
a
r), (5.2)
удовлетворяющей волновому уравнению (5.1) без правой части, и сфе-
рической расходящейся волны:
Ψ
a
(r) = Φ
a
(r) + A(k
a
, k
b
)
e
ikr
r
, r d. (5.3)
Уравнение (5.3) задает граничные условия для волновой функции
непрерывного спектра. Коэффициент A(k
a
, k
b
) называется амплиту-
дой рассеяния. Амплитуда связана с сечением простым соотношением
dσ(k
a
, k
b
) = |A(k
a
, k
b
)|
2
dΩ
b
. (5.4)
Таким образом, для расчета сечения необходимо найти амплитуду рас-
сеяния. Общая формула, позволяющая получать амплитуду рассеяния
по заданному потенциалу, есть
A(k
a
, k
b
) = −
µ
2π}
2
hΦ
b
|V |Ψ
a
i, (5.5)
где волновые функции Φ
b
(r) и Ψ
a
(r) определяются соответственно вы-
ражениями (5.2) и (5.3). Прямое вычисление (5.5) затруднено, так как
требует использования неизвестной функции Ψ
a
(r) (см. (5.3)), и может
быть выполнено точно лишь для ограниченного числа потенциалов.
Одним из приближенных методов расчета амплитуды является итера-
ционный метод. В качестве нулевого приближения для функции (5.3)
используется Φ
a
(r). С ней вычисляется амплитуда (5.5):
A
(B)
(k
a
, k
b
) = −
µ
2π}
2
hΦ
b
|V |Φ
a
i, (5.6)
где
hΦ
b
|V |Φ
a
i =
Z
V (r) e
i(k
a
−k
b
)r
d
3
r ≡ V (q); (5.7)
}q = k
a
− k
b
— импульс, передаваемый при рассеянии рассеивающему
центру. Формула (5.6) дает амплитуду рассеяния в первом борновском
48
данная задача отличается граничными условиями, которые требуют от
волновых функций их неисчезновения на бесконечности.
   Для простоты ограничимся исследованием короткодействующего
потенциала, который на бесконечности стремится к нулю быстрее куло-
новского. Предположим, что V (r) отлично от нуля только в некоторой
ограниченной области пространства |r| � d. Эту часть пространства
будем называть областью действия сил. Вне области действия сил ча-
стицы движутся свободно и их состояние, согласно принципу причин-
ности, можно описать суперпозицией плоской волны

                           Φa (r) = exp(ika r),                        (5.2)

удовлетворяющей волновому уравнению (5.1) без правой части, и сфе-
рической расходящейся волны:
                                                 eikr
              Ψa (r) = Φa (r) + A(k a , kb )          ,     r � d.     (5.3)
                                                  r
Уравнение (5.3) задает граничные условия для волновой функции
непрерывного спектра. Коэффициент A(k a , kb ) называется амплиту-
дой рассеяния. Амплитуда связана с сечением простым соотношением
                                                     2
                     dσ(ka , kb ) = |A(ka , kb )| dΩb .                (5.4)

Таким образом, для расчета сечения необходимо найти амплитуду рас-
сеяния. Общая формула, позволяющая получать амплитуду рассеяния
по заданному потенциалу, есть
                                         µ
                    A(ka , kb ) = −          �Φb | V |Ψa � ,           (5.5)
                                        2π�2
где волновые функции Φb (r) и Ψa (r) определяются соответственно вы-
ражениями (5.2) и (5.3). Прямое вычисление (5.5) затруднено, так как
требует использования неизвестной функции Ψa (r) (см. (5.3)), и может
быть выполнено точно лишь для ограниченного числа потенциалов.
Одним из приближенных методов расчета амплитуды является итера-
ционный метод. В качестве нулевого приближения для функции (5.3)
используется Φa (r). С ней вычисляется амплитуда (5.5):
                                           µ
                  A(B) (ka , kb ) = −          �Φb | V |Φa � ,         (5.6)
                                          2π�2
где                             �
              �Φb | V |Φa � =       V (r) ei(ka −kb )r d3 r ≡ V (q);   (5.7)

�q = ka − kb — импульс, передаваемый при рассеянии рассеивающему
центру. Формула (5.6) дает амплитуду рассеяния в первом борновском


                                        48

Страницы