Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Из явного вида функции Ψ(ϕ) (1.11) и условия периодичности (1.12)
получаем к условие для определения константы α:
e
2πiα
= 1,
откуда следует, что для функции вида (1.11) константа α должна при-
нимать только целые значения: α ≡ m
l
= 0, ±1, . . .
Полярный угол ϕ может принимать значения из интервала 0 6 ϕ <
2π; из (1.11) следует, что |Ψ(ϕ)|
2
= |A|
2
, поэтому
Z
2π
0
|Ψ(ϕ)|
2
dϕ = 2π|A|
2
= 1.
Выпишем окончательный вид нормированной функции (1.11):
Ψ
m
(ϕ) =
e
imϕ
√
2π
, m = 0, ±1, . . . (1.13)
Пример 1.5. Нормировать волновые функции
Ψ
1
(θ, ϕ) = A
1
; Ψ
2
(θ, ϕ) = A
2
cos θ
на единичной сфере.
Решение. Вначале напомним вид элемента телесного угла в сфериче-
ских координатах:
dΩ = sin θ dθ dϕ, 0 6 θ 6 π; 0 6 ϕ < 2π. (1.14)
Константу A
1
получаем элементарным интегрированием:
Z
|Ψ
1
(θ, ϕ)|
2
dΩ = |A
1
|
2
Z
dΩ = 4π|A
1
|
2
= 1, откуда A
1
=
1
√
4π
.
При вычислении A
2
сделаем замену переменных cos θ = t (при этом
dt = −sin θ dθ):
Z
|Ψ
2
(θ, ϕ)|
2
dΩ = |A
2
|
2
Z
2π
0
dϕ
Z
+1
−1
t
2
dt =
4π
3
|A
2
|
2
= 1.
В результате A
2
=
r
3
4π
. 
                                    10


Из явного вида функции Ψ(ϕ) (1.11) и условия периодичности (1.12)
получаем к условие для определения константы α:

                                 e2πiα = 1,

откуда следует, что для функции вида (1.11) константа α должна при-
нимать только целые значения: α ≡ ml = 0, ±1, . . .
   Полярный угол ϕ может принимать значения из интервала 0 6 ϕ <
2π; из (1.11) следует, что |Ψ(ϕ)|2 = |A|2 , поэтому
                       Z 2π
                            |Ψ(ϕ)|2 dϕ = 2π|A|2 = 1.
                       0

   Выпишем окончательный вид нормированной функции (1.11):

                            eimϕ
                   Ψm (ϕ) = √ ,          m = 0, ±1, . . .          (1.13)
                              2π

                                                                       

Пример 1.5. Нормировать волновые функции

                 Ψ1 (θ, ϕ) = A1 ;     Ψ2 (θ, ϕ) = A2 cos θ

на единичной сфере.
Решение. Вначале напомним вид элемента телесного угла в сфериче-
ских координатах:

             dΩ = sin θ dθ dϕ,      0 6 θ 6 π;    0 6 ϕ < 2π.      (1.14)

   Константу A1 получаем элементарным интегрированием:
  Z                          Z
               2           2                                   1
    |Ψ1 (θ, ϕ)| dΩ = |A1 |     dΩ = 4π|A1 |2 = 1, откуда A1 = √ .
                                                               4π
При вычислении A2 сделаем замену переменных cos θ = t (при этом
dt = − sin θ dθ):
        Z                           Z 2π    Z +1
                                                         4π
           |Ψ2 (θ, ϕ)|2 dΩ = |A2 |2      dϕ      t2 dt =    |A2 |2 = 1.
                                     0       −1           3
                      r
                          3
В результате A2 =           .                                           
                         4π

Страницы