Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
выми функциями Ψ
1
и Ψ
2
, то она может находиться и в состоянии
Ψ = α
1
Ψ
1
+ α
2
Ψ
2
, (1.6)
где α
1
и α
2
— произвольные комплексные константы.
Линейная комбинация волновых функций в правой части (1.6) за-
дает суперпозицию состояний. Другими словами, суперпозиция состо-
яний квантовой системы тоже будет состоянием этой системы.
Разберем несколько примеров, в которых будут вычислены норми-
ровочные константы наиболее важных волновых функций. Получен-
ные результаты мы будем неоднократно использовать в дальнейшем
при изучении курса квантовой теории.
Пример 1.1. Частица приведена в состояние с волновой функцией
Ψ(x) =
A sin
πx
a
при 0 6 x 6 a;
0 при x < 0 или x > a.
Вычислить нормировочную константу A.
Решение. Частица локализована в конечной области пространства, по-
этому в качестве условия нормировки следует взять (1.4), положив
dξ = dx. Интегрирование удобно провести, предварительно упростив
подынтегральную функцию по формуле синуса половинного угла:
1 = |A|
2
Z
a
0
sin
2
πx
a
dx =
1
2
|A|
2
Z
a
0
1 − sin
2πx
a
dx =
a
2
|A|
2
. (1.7)
Интеграл от второго слагаемого в (1.7) обращается в нуль из-за инте-
грирования гармонической функции по ее периоду. Таким образом, с
точностью до фазового множителя A =
p
2/a, а нормированная функ-
ция
Ψ(x) =
r
2
a
sin
πx
a
. (1.8)
Рекомендуем самостоятельно проанализировать ее размерность.
Пример 1.2. Частица приведена в состояние с волновой функцией
Ψ(x) = A exp
−
x
2
2x
2
0
,
                                   8


выми функциями Ψ1 и Ψ2 , то она может находиться и в состоянии

                          Ψ = α 1 Ψ1 + α 2 Ψ2 ,                  (1.6)

где α1 и α2 — произвольные комплексные константы.
   Линейная комбинация волновых функций в правой части (1.6) за-
дает суперпозицию состояний. Другими словами, суперпозиция состо-
яний квантовой системы тоже будет состоянием этой системы.
   Разберем несколько примеров, в которых будут вычислены норми-
ровочные константы наиболее важных волновых функций. Получен-
ные результаты мы будем неоднократно использовать в дальнейшем
при изучении курса квантовой теории.
Пример 1.1. Частица приведена в состояние с волновой функцией
                   
                   A sin πx при 0 6 x 6 a;
            Ψ(x) =         a
                   0         при x < 0 или x > a.

Вычислить нормировочную константу A.
Решение. Частица локализована в конечной области пространства, по-
этому в качестве условия нормировки следует взять (1.4), положив
dξ = dx. Интегрирование удобно провести, предварительно упростив
подынтегральную функцию по формуле синуса половинного угла:
            Z a                   Z a             
                     πx     1                  2πx       a
   1 = |A|2     sin2    dx = |A|2      1 − sin       dx = |A|2 . (1.7)
             0        a     2      0            a        2

Интеграл от второго слагаемого в (1.7) обращается в нуль из-за инте-
грирования гармонической функции по p   ее периоду. Таким образом, с
точностью до фазового множителя A = 2/a, а нормированная функ-
ция
                               r
                                  2     πx
                        Ψ(x) =      sin    .                    (1.8)
                                  a      a
Рекомендуем самостоятельно проанализировать ее размерность.         

Пример 1.2. Частица приведена в состояние с волновой функцией
                                       
                                     x2
                    Ψ(x) = A exp − 2 ,
                                    2x0

Страницы