Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
где x
0
> 0 — константа с размерностью длины. Вычислить нормиро-
вочную константу A.
Решение. Интеграл
Z
+∞
−∞
exp
−
x
2
x
2
0
dx (1.9)
с помощью замены переменных x/x
0
= t сводится к интегралу Пуассона
(см. (А.1)), так что |A|
2
= 1/(x
0
√
π). Запишем теперь нормированную
функцию:
Ψ(x) =
1
p
x
0
√
π
exp
−
x
2
2x
2
0
. (1.10)
Рекомендуем самостоятельно проверить ее размерность.
Пример 1.3. Волновой пакет задается функцией
Ψ(x) = A exp
−
x
2
2x
2
0
+ ik
0
x
,
где x
0
> 0 — константа с размерностью длины, определяющая ширину
пакета, k
0
— константа с размерностью волнового числа. Вычислить
нормировочную константу A.
Решение. При возведении |Ψ(x)| в квадрат слагаемое ik
0
x под знаком
экспоненты исчезает и задача сводится к вычислению интеграла (1.9)
из предыдущего примера.
Мы рассмотрели вычисление нормировочных констант для некото-
рых функций, заданных в декартовых координатах. Теперь рассмотрим
другие системы координат.
Пример 1.4. Волновая функция, зависящая от полярного угла ϕ, за-
дается выражением
Ψ(ϕ) = Ae
iαϕ
, (1.11)
где α — некоторая константа. Используя стандартные условия, опре-
делить возможные значения α и нормировать волновую функцию.
Решение. Полярный угол ϕ задает некоторое направление на плоскости
xOy относительно начала координат. При изменении этого угла на 2π
направление остается прежним, так что для выполнения условия одно-
значности функция полярного угла Ψ(ϕ) должна быть периодичной с
периодом 2π:
Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ + 2π). (1.12)
                                    9


где x0 > 0 — константа с размерностью длины. Вычислить нормиро-
вочную константу A.
Решение. Интеграл        Z                 
                             +∞
                                       x2
                                  exp − 2       dx               (1.9)
                          −∞           x0
с помощью замены переменных x/x √ 0 = t сводится к интегралу Пуассона
                        2
(см. (А.1)), так что |A| = 1/(x0 π). Запишем теперь нормированную
функцию:
                                               
                                1           x2
                      Ψ(x) = p √ exp − 2 .                      (1.10)
                               x0 π         2x0

Рекомендуем самостоятельно проверить ее размерность.                

Пример 1.3. Волновой пакет задается функцией
                                         
                                  x2
                  Ψ(x) = A exp − 2 + ik0 x ,
                                 2x0

где x0 > 0 — константа с размерностью длины, определяющая ширину
пакета, k0 — константа с размерностью волнового числа. Вычислить
нормировочную константу A.
Решение. При возведении |Ψ(x)| в квадрат слагаемое ik0 x под знаком
экспоненты исчезает и задача сводится к вычислению интеграла (1.9)
из предыдущего примера.                                           
   Мы рассмотрели вычисление нормировочных констант для некото-
рых функций, заданных в декартовых координатах. Теперь рассмотрим
другие системы координат.
Пример 1.4. Волновая функция, зависящая от полярного угла ϕ, за-
дается выражением
                        Ψ(ϕ) = Aeiαϕ ,                    (1.11)
где α — некоторая константа. Используя стандартные условия, опре-
делить возможные значения α и нормировать волновую функцию.
Решение. Полярный угол ϕ задает некоторое направление на плоскости
xOy относительно начала координат. При изменении этого угла на 2π
направление остается прежним, так что для выполнения условия одно-
значности функция полярного угла Ψ(ϕ) должна быть периодичной с
периодом 2π:
                        Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ + 2π).                    (1.12)

Страницы