Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Пример 1.6. Нормировать волновую функцию
Ψ(r) = A exp
−
Zr
a
0
,
заданную во всем пространстве в сферических координатах. Здесь
a
0
> 0 — константа с размерностью длины, Z > 0 — безразмерная
константа.
Решение. Элемент объема в сферических координатах
d
3
r = r
2
dr dΩ, (1.15)
где dΩ определяется выражением (1.14).
Радиальный интеграл заменой t = 2Zr/a
0
приводится к виду (Б.11):
Z
|Ψ(r)|
2
d
3
r = |A|
2
Z
∞
0
r
2
exp
−
2Zr
a
0
dr
Z
dΩ
| {z }
4π
=
= 4π|A|
2
a
3
0
8Z
3
Z
∞
0
t
2
e
−t
dt
| {z }
2
=
πa
3
0
Z
3
|A|
2
= 1.
Отсюда A =
p
Z
3
/πa
3
0
. Приведем окончательное выражение для нор-
мированной волновой функции:
Ψ(r) =
s
Z
3
πa
3
0
exp
−
Zr
a
0
. (1.16)
Обращаем внимание на ее размерность.
Задачи для самостоятельного решения
1. Волновая функция задается на всей вещественной оси выражением
Ψ(x) = Ax exp
−
x
2
2x
2
0
,
где x
0
— константа с размерностью длины. Вычислить нормировочную
константу A.
                                                  11


Пример 1.6. Нормировать волновую функцию
                                      
                                    Zr
                     Ψ(r) = A exp −      ,
                                    a0

заданную во всем пространстве в сферических координатах. Здесь
a0 > 0 — константа с размерностью длины, Z > 0 — безразмерная
константа.
Решение. Элемент объема в сферических координатах

                                      d3 r = r2 dr dΩ,                              (1.15)

где dΩ определяется выражением (1.14).
   Радиальный интеграл заменой t = 2Zr/a0 приводится к виду (Б.11):
  Z                          Z   ∞               Z
           2 3           2           2       2Zr
      |Ψ(r)| d r = |A|               r exp −      dr dΩ =
                             0                a0
                                                    | {z }
                                                                4π
                                                       Z    ∞
                                                 a3                        πa3
                                      =   4π|A|2 03             t2 e−t dt = 30 |A|2 = 1.
                                                8Z                         Z
                                                       |0        {z     }
                                                                 2
            p
Отсюда A = Z 3 /πa30 . Приведем окончательное выражение для нор-
мированной волновой функции:
                                          s                
                                              Z3         Zr
                             Ψ(r) =                exp −      .                     (1.16)
                                              πa30       a0

Обращаем внимание на ее размерность.                                                       


Задачи для самостоятельного решения

1. Волновая функция задается на всей вещественной оси выражением
                                          
                                        x2
                     Ψ(x) = Ax exp − 2 ,
                                       2x0

где x0 — константа с размерностью длины. Вычислить нормировочную
константу A.

Страницы