Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

105
15.3 Расчет силы тока
В задачах, где требуется найти кратковременный ток, обычно
заданы начальные значения I(0) и Q(0). Поэтому сначала необходимо
найти I
′
(0). Для этого подставим t=0 в уравнение (15.2). Получим
уравнение:
() () () ()
1
00 00,
LI RI Q E
C
′
++ =
(15.16)
которое позволяет выразить I
′
(0) через начальные значения тока, заряда и
напряжения.
Пример 15.1. Рассмотрим RLC – цепь (т. е. цепь, состоящую из
резистора, катушки и конденсатора), у которой R = 50 ом (Ω), L = 0.1 генри
(Гн) и С = 5×10
–4
фарад (Ф). В момент времени t = 0, когда значения I(0) и
Q(0) равны нулю, к цепи подключили генератор переменного тока
напряжением 110 В и частотой 60 Гц. Найдите силу тока в цепи и
отставание во времени установившегося периодического тока от
напряжения.
Решение
Если частота равна 60 Гц, то ω = (2π)(60) рад/с, т. е. приблизительно
377 рад/с. Поэтому E(t) = 110sin377t (будем считать это равенство точным,
а не приблизительным). Дифференциальное уравнение (15.6) в этом случае
примет вид:
(0.1)I″ + 50I′ + 2000I = (377)(110)cos377t.
Подставив в уравнение (15.10) данные значения R, L, С и ω = 377,
получми импеданс
: Z = 59.58 Ω. Поэтому амплитуда установившегося
периодического решения:
I
0
= 110 (вольт)/59.58 (Ом) = 1/846 ампер (А).
Подставив эти же данные в уравнение (15.15), получим синус
фазового угла, а затем найдем и сам угол:
δ = arctg(0.648) = 0.575.
Поэтому отставание по времени тока от напряжения равно:
δ/ω = 0.575/377 = 0.0015 c,
а установившийся периодический ток равен:
I
sp
= (1.846)sin(377t – 0.575).
Характеристическое уравнение (0.1)r
2
+ 50r + 2000 = 0 имеет два
корня r
1
≈ –44 и r
2
≈ –456. Используя эти приближенные значения,
запишем общее решение в виде:
I(t) = c
1
e
–44t
+ c
2
e
–456t
+ (1.846)sin(377t – 0.575),
его производная
I
′
(t) = –44c
1
e
–44t
– 456c
2
e
–456t
+ 696cos(377t – 0.575).
Поскольку I(0) = Q(0) = 0, из уравнения (15.16) получим, что и I
′
(0)
= 0. Подставив эти начальные данные, получим систему уравнений:

Страницы