Составители:
111
16 Задачи с граничными условиями
16.1 Провисание (прогиб) однородной балки
Рассмотрим пример применения достаточно простой краевой
задачи для объяснения довольно сложного физического явления – формы,
которую принимает горизонтальная балка под действием вертикальной
силы.
Рассмотрим горизонтальную балку из однородного материала с
постоянным сечением, изображенную на рис. 16.1. Если она опирается
только на концах, то под действием собственного веса ее продольная ось
симметрии изгибается (на
рисунке 16.1 она отмечена пунктиром). Наша
цель – исследовать форму кривой у = у(х), т. е. кривой прогиба балки. Для
этого введем систему координат так, как показано на рис. 16.2. Ось у
направлена вниз.
Из теории упругости следует, что при достаточно малых
отклонениях балки (настолько малых, что величиной [у'(x)]
2
можно
пренебречь по сравнению с единицей), кривая прогиба описывается
математической моделью, в основу которой положено дифференциальное
уравнение четвертого порядка:
EIy
(4)
= F(x), (16.1)
где E – модуль Юнга материала балки;
I – момент инерции поперечного сечения балки относительно
горизонтальной линии проходящей через центр тяжести поперечного
сечения;
F(x) – плотность силы, действующей вертикально вниз на балку в точке х.
Что такое плотность силы? В данной задаче это сила, действующая
на единицу длины. Таким образом
, сила, действующая на очень короткий
отрезок балки [х, х + Δх], приблизительно равна F(x)Δх. Размерностью F(x)
является единица силы на единицу длины. Мы рассмотрим случай, когда
единственной силой, распределенной по балке, будет ее собственный вес,
w ньютонов на метр, так что F(x) ≡ w. Тогда уравнение (16.1)
примет вид:
EIy
(4)
= w, (16.2)
где Е, I и w – константы
Рис. 16.1. Искривление
(деформация) горизонтальной балки
Рис. 16.2. Кривая прогиба
Положительное направление оси y
L
x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
