Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

113
Таблица16.1.
Граничные, или краевые, условия для трех самых распространенных
случаев
Опора Краевые условия
Простая опора
y = y
″
= 0
Заделанный (защемленный) конец
y = y
′
= 0
Свободный конец
y
″
= y
(3)
= 0
Например, кривая прогиба консоли на рис. 16.4 задается
уравнением (16.3), где коэффициенты A, В, С и D определяются из
условий:
y(0) = y
′
(0) = 0 и y″(L) = y
(3)
(L)
= 0, (16.4)
т. е. в точке х = 0 закреплен, а конец в точке х = L – свободен (не
закреплен).
Условия (16.4) и дифференциальное уравнение (16.2) составляют
краевую задачу.
Пример 16.1. Найдем кривую прогиба однородной горизонтальной
балки длиной L и весом w на единицу длины, оба конца которой лежат на
простых опорах.
Решение. Запишем краевые условия в нашей задаче:
y(0) = y″(0) = y(L) = y″(L)
= 0.
Вместо того чтобы подставлять их прямо в уравнение (16.3), мы
начнем с дифференциального уравнения EIy
(4)
= w и найдем постоянные,
которые будут возникать при (четырехкратном) интегрировании. В
результате первых двух интегрирований получим:
EIy
(3)
= wx + A; EIy
″
= wx
2
/2 + Ax + B.
Поскольку у"(0) = 0, то В = 0, и тогда из y″(L)
= 0 следует, что:
0 = wL
2
/2 + AL.
Поэтому A = –wL/2 и тогда:
EIy
″
= x
2
/2 – wLx/2.
Проинтегрируем еще два раза. Сначала будем иметь:
EIy
′
= wx
3
/6 – wLx
2
/4 + С,
а после последнего интегрирования получим:
EIy(x) = wx
4
/24 – wLx
3
/12 + Сx + D. (16.5)
Теперь из у(0) = 0 следует, что D = 0. Затем, так как у(L) = 0,
0 = wL
4
/24 – wL
4
/12 + СL.
Отсюда находим С = wL
3
/24. Из уравнения (16.5) мы получим
уравнение:
()
()
433
2,
24
w
yx x Lx Lx
EI
=−+
которое определяет форму балки, свободно лежащей на простых опорах.

Страницы