Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

115
16.2 Стержень на стяжке
На рис. 16.5 изображен однородный стержень длиной L. Его концы
закреплены на шарнирах. Он выгибается под действием продольной
сжимающей силы Р, приложенной к одному из концов.
Мы считаем сжатие стержня настолько малым, что областью
определения кривой у = у(х) можно считать отрезок 0 ≤ х ≤ L. В теории
упругости линейная краевая задача:
EIy
″
+ Py = 0, y(0) = y(L) = 0. (16.7)
описывает действительное (нелинейное) поведение стержни. Как и в
задаче о прогибе балки, Е обозначает модуль Юнга материала, а I – момент
инерции поперечного сечения балки относительно горизонтальной линии,
проходящей через центр тяжести поперечного сечения. Если мы напишем:
λ
= P/(EI), (16.8)
то задача (16.7) примет вид задачи на собственные значения:
y
″
+
λ
y = 0, y(0) = y(L) = 0. (16.9)
Напомним, что ее собственные числа {
λ
n
} равны:
22
2
,
n
n
L
π
λ
=
n=1,2,3,… (16.10)
Каждому значению λ
n
, соответствует собственная функция y
n
(x) =
sin(n
π
x/L).
Чтобы интерпретировать этот результат для выгибающегося
стержня, напомним, что в соответствии с (16.8) P =
λ
EI. Силы
P
n
=
λ
n
EI = n
2
π
2
EI/L
2
, n = 1, 2, 3, … (16.11)
являются критическими силами сжатия стержня. Только когда сжимающая
сила P равна одному из критических значений силы сжатия, стержень
будет "выгибаться", и его форма будет отлична от его прямого
(неизогнутого) положения. Наименьшее сжимающее усилие, при котором
это происходит, равно
P
1
=
π
2
EI/L
2
. (16.12)
Эта наименьшая критическая сила называется эйлеровым
критическим усилием при продольном изгибе
1
стержня. Это верхняя
граница тех сжимающих усилий, которые можно приложить к стержню, не

1
А также иногда эйлеровой критической силой, или просто критической силой.
y
P
P
x = 0
x
y = y(x)
x = L
Рис. 16.5. Стержень на стяжке

Страницы