Составители:
117
17 Математические модели на основе системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
Ранее мы рассматривали методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений с одной неизвестной функцией. Однако во
многих приложениях встречаются обыкновенные дифференциальные
уравнения, содержащие две или больше неизвестных функций, зависящих
от одной переменной (обычно от времени). Такие задачи естественно
приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно
мы будем обозначать неизвестные функции, зависящие от переменной
t,
через x
1
, x
2
, x
3
, …, или x, y, z, … . Штрихами будут обозначины
производные по t.
Сосредоточим наше внимание на системах, в которых количество
уравнений равно количеству неизвестных функций. Например, систему
двух уравнений первого порядка относительно неизвестных функций х и у
в общем виде можно записать следующим образом:
(
)
()
,,, , 0
,,, , 0
ftxyxy
gtxyx y
′′
=
⎧
⎪
⎨
′′
=
⎪
⎩
где функции f u g заданы. Решением этой системы на некотором интервале
значений t называется пара функций x(t), y(t) от t, в результате подстановки
которой в оба эти уравнения эти уравнения превращаются в тождества на
этом интервале.
Приведем пример системы уравнений второго порядка. Для этого
рассмотрим частицу массой m,
которая движется в пространстве под
действием силового поля F, зависящего от времени t, координат (x(t), y(t),
z(t)) частицы и ее скорости (x
′
(t), y
′
(t), z
′
(t)). Записывая второй закон
Ньютона ma = F в координатной форме, получим систему:
(
)
()
()
1
2
3
,,,, , ,
,,,, , ,
,,,, , ,
mx F t x y z x y z
my F t x y z x y z
mz F t x y z x y z
′′ ′ ′ ′
⎧=
⎪
′′ ′ ′ ′
=
⎨
⎪
′′ ′ ′ ′
=
⎩
трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно
неизвестных функций х, у, z, зависящих от независимой переменной t. Три
стоящих с правой стороны функции F
1
, F
2
, F
3
– компоненты
векторнозначной функции F.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- …
- следующая ›
- последняя »
