Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

118
17.1 Простейшие применения
Примеры 17.1-17.3 иллюстрируют, каким образом системы
дифференциальных уравнений возникают в научных задачах.
Пример 17.1. Рассмотрим систему, состоящую из двух тел и двух
пружин, изображенную на рис. 17.1, причем заданная внешняя сила f(t)
действует на тело массой m
2
, находящееся справа. Обозначим через x(t)
смещение (вправо) тела массы m
1
от его статического положения
равновесия (когда систем не движется и находится в положении
равновесия и, кроме того, f(t) = 0), а через y(t) – смещение тела массой m
2
от его положения равновесия. Таким образом, если х и у равны нулю,
пружины не являются ни сжатыми, ни растянутыми.
На рис. 17.1 первая пружина растянута на х единиц, а вторая на у – x
единиц. Применив второй закон Ньютона к двум "диаграммам свободах
тел", изображенных на рис. 17.2, мы получим систему дифференциальных
уравнений:
(
)
()()
12
2
(17.1)
mx k x k y x
my k y x f t
′′
=− + −
⎧
⎪
⎨
′′
=− − +
⎪
⎩
с двумя неизвестными функциями x(t) и y(t) – смещениями тел.
Фактические смещения тел должны удовлетворять этой системе
уравнений. Например, если m
1
=2, m
2
=1, k
1
= 4, k
2
= 4, f(t) = 40sin3t в
соответствующих физических единицах измерения, то система (17.1)
сводится к:
262
2240sin3
xxy
yxy t
′
′
=− +
⎧
⎨
′′
=−+
⎩
Текст на MAPLE
> dsolve({2*diff(x(t),t,t)=-6*x(t)+2*y(t),diff(y(t),t,t)= 2*x(t)-
2*y(t)+40*sin(3*t)}, {x(t),y(t)});
= ()x t + +
+
+ ()sin 3 t _C1 ()cos t _C2 ()sin t _C3 ()cos 2 t _C4 ()sin 2 t ,{
= ()y t − + + − − 6()sin 3 t 2 _C1 ()cos t 2 _C2 ()sin t _C3 ()cos 2 t _C4 ()sin 2 t }
Пример 17.2. Два резервуара с раствором соли соединены так, как
показано рис. 17.3. Резервуар 1 содержит x(t) кг соли на 400 литров воды, а
резервуар 2 – y(t) кг соли на 800 литров воды. Соляной раствор в каждом
из резервуаров тщательно перемешивается, и потому раствор можно
считать абсолютно однородным. Раствор соли перекачивается из
резервуара в резервуар. Скорости
указаны на рис. 17.3. Кроме того, в
f(t)
Положение равновесия
y(t)
k
2
Рис. 17.1 Система тел и пружин из
примера 17.1
k
1
x(t)
m
1
m
2
Рис. 17.2. “Диаграмма
свободных тел” для системы из
примера 17.1.
f(t)
k
2
(y – x)
k
2
(y – x)
m
1
m
2
k
1
x

Страницы